転置行列 転置行列により定義される行列

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転置行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:19 UTC 版)

転置行列により定義される行列

転置により定義される特別な行列として以下がある。

• 対称行列：転置が元の行列と等しい (^tA = A）
• 反対称行列：転置が元の行列に −1 をかけたものになる（^tA = −A)
• 直交行列：転置が元の行列の逆行列になる（^tA = A⁻¹)

これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。

線形写像との関係

m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 ^tA には f の転置写像 ^tf が対応する。これは W の双対空間 W^* から V の双対空間 V^* への線形写像 ^tf : W^* → V^* で、y^* ∈ W^* に対して

${}^{t}f=y^{*}\circ f$

によって定義される。この定義は y ∈ W と y^* ∈ W^* の自然なペアリングを y^*(y) = ⟨y, y^*⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して

$\langle f(x),y^{*}\rangle =\langle x,{}^{t}f(y^{*})\rangle$

という関係式によって書き直すこともできる。