留数 定義

ウィキペディア

留数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/12 15:38 UTC 版)

定義

解析函数 f(z) に対し z = a が孤立特異点であるとき、 z = a における留数 $\operatorname {Res} (f,a)$ または $\operatorname {Res} _{a}(f)$が定義でき、

留数定理により次のように定められる。

$\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z):={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}$

（z = a が正則点の場合にもこの積分および留数を考えることができるが、コーシーの積分定理により、その場合留数の値は消える）。ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円を正の向きに回るものとする（実際には、積分路は、それがガウス平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い）。

無限遠点 ∞ を含めて P¹ ≔ C ∪ {∞} 上の函数を考えるときは、無限遠点における留数というものを考えることができる。無限遠点 z = ∞ に孤立特異点を持つ解析函数 f(z) に対し、z = 1/ζ なる変数変換を行えば、g(ζ) := f(1/ζ) は ζ = 0 に孤立特異点を持つ（あるいは正則な）解析函数だが、留数 Res_z=∞f(z)dz は

$\operatorname {Res} \limits _{z=\infty }\,f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(1/\zeta )d(1/\zeta )=-\operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,{\frac {g(\zeta )}{\zeta ^{2}}}\;(\neq \operatorname {Res} \limits _{\zeta =0}\,g(\zeta ))$

であることに留意すべきである。