リー環のコホモロジー リー環のコホモロジーの概要

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リー環のコホモロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/20 14:30 UTC 版)

動機付け

G がコンパクト単連結リー群のとき、G はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは G 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これは同変微分形式の複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

定義

${\mathfrak {g}}$ を可換環 R 上のリー環、$U{\mathfrak {g}}$ をその普遍包絡環とし、M を ${\mathfrak {g}}$ の表現とする（同じことだが $U{\mathfrak {g}}$-加群とする）。R を ${\mathfrak {g}}$ の自明表現と考え、コホモロジー群

$\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)$

を定義する（Ext の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

$M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}$

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

$\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)$

と定義でき（Tor の定義は Tor関手を参照）、これは右完全余不変関手

$M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.$

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはホワイトヘッドの補題、ワイルの完全可約性定理、レヴィ分解定理がある。

シュバレー・アイレンバーグ複体

体 k 上のLie環 ${\mathfrak {g}}$ の左 ${\mathfrak {g}}$-加群 M に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 $\mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\ast }{\mathfrak {g}},M)$ を用いて計算できる。この複体の n-コチェインは M に値を持つ n 変数の交代 k-多重線型関数 $f:\Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M$ である。n コチェインのコバウンダリは次で与えられる (n + 1)-コチェイン δf である：

$(\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})\,,$

ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。