リース＝ソリンの定理 作用素の族の補間

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リース＝ソリンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/19 14:39 UTC 版)

作用素の族の補間

前節で紹介されている証明の概要は、すでに T が解析的に変動する場合に対しても一般化されている。実際、整函数

$\varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2}$

の上界を得る上ためには、同様の証明を行えば良い。すると、エリアス・スタインの1956年の論文において出版された次の結果が導かれる。

スタインの補間定理. (Ω₁, Σ₁, μ₁) および (Ω₂, Σ₂, μ₂) をσ-有限測度空間とする。1 ≤ p₀ ≤ p₁ ≤ ∞, 1 ≤ q₀ ≤ q₁ ≤ ∞ を仮定し、次を定義する：

S = {z ∈ C : 0 < Re(z) < 1} ,

S = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} .

L¹(μ₁) 内の単函数の空間から、Ω₂ 上のすべての μ₂-可測函数の空間への線型作用素の集まり {T_z : z ∈ S} を考える。この作用素に対し、次の性質を仮定する：

• 写像

$z\mapsto \int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}$

は、すべての単函数  f  および g に対して、S 上連続かつ S 上正則である。

• ある定数 k < π に対し、それらの作用素は次の一様有界性を満たす：

$\sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\left|\int (T_{z}f)g\,\mu _{2}\right|<\infty$

• T_z は、Re(z) = 0 なら、 L^p₀(μ₁) から L^q₀(μ₂) への有界作用素である。
• T_z は、Re(z) = 1 なら、L^p₁(μ₁) から L^q₁(μ₂) への有界作用素である。
• 作用素ノルムは次の一様有界性を満たす。

$\sup _{{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z}\right\|<\infty .$

すると、各 0 < θ < 1 に対し、作用素 T_θ は L^p_θ(μ₁) から L^q_θ(μ₂) への有界作用素となる。

実ハーディ空間と有界平均振動の理論により、ハーディ空間 H¹(R^d) と有界平均振動の空間 BMO 上の作用素を扱う上でスタインの補間定理を使うことが可能となる。これはチャールズ・フェファーマンとエリアス・スタインによる結果である。