ノルム (体論) ノルム (体論)の概要

ウィキペディア

ノルム (体論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/28 07:39 UTC 版)

定義

体の有限次元拡大 L / K に対し、L の元 α のノルム N_L/K(α) は以下のように定義される。

K の L を含む代数閉包 K^a を固定し、σ_i : L → K ^a (1 ≤ i ≤ n) を K の元を固定する相異なる中への同型の全体とするとき

$N_{L/K}(\alpha ):=\left(\sigma _{1}(\alpha )\cdots \sigma _{n}(\alpha )\right)^{[L:K]_{i}}$:

ここで、[L:K]_i は非分離次数である。

例

L を複素数体 C, K を実数体 R とすると、R の代数閉包は C であり、R を固定する C の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = a + ibに対して

$N_{\mathbb {C/R} }(\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=|\alpha |^{2}=a^{2}+b^{2}$

が拡大 C / R に関する α のノルムである。