ウェルチのt検定 ウェルチのt検定の概要

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ウェルチのt検定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/28 00:54 UTC 版)

式

ウェルチのt検定は統計量tを以下の式によって定義する。

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$、${\displaystyle s_{i}^{2}}$、${\displaystyle N_{i}}$はそれぞれ${\displaystyle i}$^thの標本平均、不偏分散、サンプルサイズである。スチューデントのt検定とは異なり、分母は推定された合併分散に基づかない。

この推定分散と関連した自由度${\displaystyle \nu }$は、ウェルチ-サタスウェイトの式を用いて近似される。

${\displaystyle \nu \approx {{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}\,}$

ここで${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$であり、自由度は${\displaystyle i}$^th推定分散と関連している。この自由度の式は、Welch (1938)^[2] の式(9)に見られる。

統計検定

tおよび${\displaystyle \nu }$が計算されると、これらの統計量は、「2つの母集団の平均は等しい」（両側検定）という帰無仮説あるいは「母集団の一方の平均がもう一方よりも大きいあるいは等しい」（片側検定）という帰無仮説を検定するためにt分布と共に用いることができる。具体的には、この検定によって得られるp値は、帰無仮説を棄却あるいは採択するための十分な証拠を与える。