2次元二次曲面
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/28 05:50 UTC 版)
比較的初等の数学では、二次曲面と言うと狭義に 3 次元ユークリッド空間 R3 内の曲面を指していた。その実態については一般次元の場合と同じであるが、円錐曲線のように、各曲面に固有の名称がついているので、それについて挙げることにする。ここでは、a,b,cはそれぞれ正の実数とする。 定曲線に沿って直線で形成される曲面（線織面）は以下の4通りである。 錐面（実の二次錐面） 双曲放物面 一葉双曲面 柱面※定曲線と鉛直の直線で形成される。 二次曲面は、xyz-空間 R3 上で定義され、次の陰関数曲線によって与えることが出来る。 Q = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E y z + F x z + G x + H y + I z + J = 0 } {\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\right\}} ρ(※)符号数曲面の名称標準形0 錐面aX2 + bY2 + cZ2 = 0 （一点又は虚の二次錘面） aX2 + bY2 − cZ2 = 0 1 (3, 0) 楕円面aX2 + bY2 + cZ2 = 1 1 (2, 1) 一葉双曲面aX2 + bY2 − cZ2 = 1 1 (1, 2) 二葉双曲面aX2 − bY2 − cZ2 = 1 1 (0, 3) （なし）又は虚の楕円面 −aX2 − bY2 − cZ2 = 1 2 (2, 0) 楕円放物面aX2 + bY2 + 2cZ = 1 2 (1, 1) 双曲放物面aX2 − bY2 + 2cZ = 1 2 (0, 2) 楕円放物面−aX2 − bY2 + 2cZ = 1 (R2) 0 交差二平面aX2 + bY2 = 0（直線） aX2 − bY2 = 0 (R2) 1 (2, 0) 楕円柱面aX2 + bY2 = 1 (R2) 1 (1, 1) 双曲柱面aX2 − bY2 = 1 (R2) 1 (0, 2) （なし）又は虚の楕円柱面 −aX2 − bY2 = 1 (R2) 2 (1, 0) 放物線柱面aX2 + 2bY = 1 (R2) 2 (0, 1) 放物線柱面−aX2 + 2bY = 1 (R1) 0 重なった二平面aX2 = 0 (R1) 1 (1, 0) 平行二平面aX2 = 1 (R1) 1 (0, 1) （なし）又は平行な虚の二平面 −aX2 = 1 ※ ρ = rank R − rank A （退化している場合は、定義次数を括弧内に示す） 楕円面 楕円放物面 双曲放物面 一葉双曲面 二葉双曲面 錐面 楕円柱面 双曲線柱面 放物線柱面
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