矩形波の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 14:57 UTC 版)
右の3つの図は、矩形波： f ( x ) = { 0 x = 2 n π π / 4 2 n π < x < ( 2 n + 1 ) π 0 x = ( 2 n + 1 ) π − π / 4 ( 2 n + 1 ) π < x < 2 ( n + 1 ) π {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x=2n\pi \\\pi /4&2n\pi <x<(2n+1)\pi \\0&x=(2n+1)\pi \\-\pi /4&(2n+1)\pi <x<2(n+1)\pi \end{cases}}} について、ギブズ現象を示したものである。矩形波は、 変数値x がπの整数倍になる全ての点において不連続であり、高さπ/2 の跳びを有する。 矩形波のフーリエ展開は以下の通り： f ( x ) = sin x + 1 3 sin 3 x + 1 5 sin 5 x + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sin x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+{\frac {1}{5}}\sin 5x+\cdots } 図から分かるように、部分和の項数が増えるに連れて、近似誤差は幅、エネルギーとも減少するが、その高さは固定値に収束する。矩形波について計算すると（後述の計算を参照）、この誤差の高さの極限値を与える明示的な式が得られる。これから、フーリエ級数は、矩形波の高さπ/4 を、次の式で与えられる量だけ超過することが分かる。 1 2 ∫ 0 π sin t t d t − π 4 = π 2 ⋅ 0.089490 … {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\,dt-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }
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