フーリエ級数
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フーリエ級数（フーリエきゅうすう、英語: Fourier series）とは、複雑な周期関数や周期信号を単純な形の周期性をもつ関数の無限和（級数）によって表したものである。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。
- ^ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. (1995). Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. ISBN 0125157517
- ^ a b c d e Papula, Lothar (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [Mathematical Functions for Engineers and Physicists]. Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571
フーリエ展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 09:58 UTC 版)
「実解析的アイゼンシュタイン級数」の記事における「フーリエ展開」の解説
実解析的アイゼンシュタイン級数の上記の性質、つまり、H 上のラプラシアンを使った E(z,s) と E*(z,s) の函数等式は、E(z,s) が次のフーリエ展開を持つという事実から示すことができる。 E ( z , s ) = y s + ζ ^ ( 2 s − 1 ) ζ ^ ( 2 s ) y 1 − s + 4 ζ ^ ( 2 s ) ∑ m = 1 ∞ m s − 1 / 2 σ 1 − 2 s ( m ) y K s − 1 / 2 ( 2 π m y ) cos ( 2 π m x ) , {\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ ,} ここに、 ζ ^ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) , {\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,} σ s ( m ) = ∑ d | m d s , {\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,} であり、 K s ( z ) = 1 2 ∫ 0 ∞ exp ( − z 2 ( u + 1 u ) ) ⋅ u s − 1 d u ∼ π 2 z e − z , ( z → ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}} は、 変形されたベッセル函数である。
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