摂動関数とラグランジュの惑星方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:03 UTC 版)
「天体力学」の記事における「摂動関数とラグランジュの惑星方程式」の解説
摂動として働く力が重力などの保存力である場合、天体の運動方程式は摂動関数または擾乱関数 (英: disturbing function または 英: perturbation function) として知られる関数 R {\displaystyle R} を用いて d 2 r d t 2 + μ r | r | 3 = ∂ R ∂ r {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+\mu {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {\partial R}{\partial \mathbf {r} }}} と書くことができる。例えば太陽系惑星の場合、 i {\displaystyle i} 番目の惑星の太陽を中心とする座標 (英: heliocentric coordinate system) での位置 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} は、運動方程式 d 2 r i d t 2 + k 2 ( 1 + m i ) r i | r i | 3 = ∂ R i ∂ r i {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}+k^{2}(1+m_{i}){\frac {\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} _{i}|^{3}}}={\frac {\partial R_{i}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}} R i = k 2 ∑ j ≠ i m j ( 1 | r i − r j | − r i ⋅ r j | r j | 3 ) {\displaystyle R_{i}=k^{2}\sum _{j\neq i}m_{j}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}-{\frac {\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}}{|\mathbf {r} _{j}|^{3}}}\right)} を満足する。ここに m i {\displaystyle m_{i}} は惑星 i {\displaystyle i} の質量であり、摂動関数の第1項を直接項 (英: direct term)、第2項を間接項 (英: indirect term) と呼ぶ。 摂動関数 R {\displaystyle R} による接触軌道要素 σ j {\displaystyle \sigma _{j}} の時間変化はラグランジュの惑星方程式 ∑ k = 1 6 [ σ j , σ k ] d σ k d t = ∂ R ∂ σ j ( j = 1 , 2 , … , 6 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{6}[\sigma _{j},\sigma _{k}]{\frac {d\sigma _{k}}{dt}}={\frac {\partial R}{\partial \sigma _{j}}}\ \ (j=1,2,\ldots ,6)} によって記述される。ここに [ c j , c k ] {\displaystyle [c_{j},c_{k}]} はラグランジュ括弧である。接触軌道要素として σ j = { a , e , i , ϵ , ϖ , Ω } {\displaystyle \sigma _{j}=\{a,e,i,\epsilon ,\varpi ,\Omega \}} を取るとき、ラグランジュの惑星方程式は次のように書き下される。 d a d t = + 2 n a ∂ R ∂ ϵ {\displaystyle {\frac {da}{dt}}=+{\frac {2}{na}}{\frac {\partial R}{\partial \epsilon }}} d e d t = − 1 − e 2 n a 2 e [ 1 − 1 − e 2 ] ∂ R ∂ ϵ − 1 − e 2 n a 2 e ∂ R ∂ ϖ {\displaystyle {\frac {de}{dt}}=-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}[1-{\sqrt {1-e^{2}}}]{\frac {\partial R}{\partial \epsilon }}-{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}{\frac {\partial R}{\partial \varpi }}} d i d t = − tan ( i / 2 ) n a 2 1 − e 2 ( ∂ R ∂ ϵ + ∂ R ∂ ϖ ) − 1 n a 2 1 − e 2 sin i ∂ R ∂ Ω {\displaystyle {\frac {di}{dt}}=-{\frac {\tan(i/2)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}\left({\frac {\partial R}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial R}{\partial \varpi }}\right)-{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i}}{\frac {\partial R}{\partial \Omega }}} d ϵ d t = − 2 n a ∂ R ∂ a + 1 − e 2 n a 2 e [ 1 − 1 − e 2 ] ∂ R ∂ e + tan ( i / 2 ) n a 2 1 − e 2 ∂ R ∂ i {\displaystyle {\frac {d\epsilon }{dt}}=-{\frac {2}{na}}{\frac {\partial R}{\partial a}}+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}[1-{\sqrt {1-e^{2}}}]{\frac {\partial R}{\partial e}}+{\frac {\tan(i/2)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial R}{\partial i}}} d ϖ d t = + 1 − e 2 n a 2 e ∂ R ∂ e + tan ( i / 2 ) n a 2 1 − e 2 ∂ R ∂ i {\displaystyle {\frac {d\varpi }{dt}}=+{\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{na^{2}e}}{\frac {\partial R}{\partial e}}+{\frac {\tan(i/2)}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial R}{\partial i}}} d Ω d t = + 1 n a 2 1 − e 2 sin i ∂ R ∂ i {\displaystyle {\frac {d\Omega }{dt}}=+{\frac {1}{na^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin i}}{\frac {\partial R}{\partial i}}} 摂動関数 R {\displaystyle R} が与えられたならば、それを摂動展開し惑星方程式を逐次的に解くことにより軌道要素の時間変化が計算できる。
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