局所コンパクト、σ-コンパクト、リンデレーフ、パラコンパクト、メタコンパクト
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
「コンパクト空間」の記事における「局所コンパクト、σ-コンパクト、リンデレーフ、パラコンパクト、メタコンパクト」の解説
これらは以下のように定義される： 名称名称（英語）定義局所コンパクト locally compact Xの任意の点がコンパクトな近傍を持つ事。 σ-コンパクト(しぐま-) σ-compact space Xは可算個のコンパクト集合の和集合として書ける リンデレーフ Lindelöf space X の任意の開被覆は可算部分被覆を持つ パラコンパクト paracompact Xはハウスドルフであり、Xの任意の開被覆は局所有限な細分を持つ。ここで X の被覆 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の細分(英: refinement)であるとは、 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} の任意の元Tに対して S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元Sが存在してT⊂Sを満たす事を言う。またX の被覆 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が局所有限(英: locally finite)であるとは、任意のx ∈ Xに対し、xの近傍Nが存在し、 N ∩ T ≠ ∅ {\displaystyle N\cap T\neq \emptyset } となる T ∈ T {\displaystyle T\in {\mathcal {T}}} が有限個しかない事を指す。 メタコンパクト metacompact X の任意の開被覆はpoint finiteな細分を持つ。ここで被覆 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} がpoint finiteであるとは任意のx ∈ Xに対し、x ∈ Tとなる T ∈ T {\displaystyle T\in {\mathcal {T}}} が有限個である事を言う。 σ-コンパクトの定義に関して留意点を述べる。σ-コンパクトは局所コンパクトと違い、コンパクトな近傍（すなわち内点を持つ集合）である事を要求されていない。これが原因でσ-コンパクトであっても局所コンパクトではない事があり得る。例えば有理数の集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は一点集合（これはコンパクトである）の可算和で書けるのでσ-コンパクトだが、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の各点のいかなる近傍も距離空間として完備でないのでコンパクトではなく、よって Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は局所コンパクトではない。
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