基本因子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 09:33 UTC 版)
「ワイエルシュトラスの因数分解定理」の記事における「基本因子」の解説
主要因子(primary factors)とも呼ばれる。 n ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} に対し、基本因子を次のように定義する。 E n ( z ) = ( 1 − z ) exp ( h n ( z ) ) {\displaystyle E_{n}(z)=(1-z)\exp \left(h_{n}(z)\right)} h n ( z ) = { 0 if n = 0 , z 1 1 + z 2 2 + ⋯ + z n n otherwise . . {\displaystyle h_{n}(z)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,\\{\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\ .} h n ( z ) = z 1 1 + z 2 2 + z 3 3 + ⋯ + z n n {\displaystyle h_{n}(z)={\tfrac {z^{1}}{1}}+{\tfrac {z^{2}}{2}}+{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots +{\tfrac {z^{n}}{n}}} という級数について、注目すべき点をいくつか述べておく。 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} の場合、 1 1 − z = 1 + z 1 + z 2 + z 3 + ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{1-z}}=1+z^{1}+z^{2}+z^{3}+\cdots } とテイラー展開可能である。この両辺を積分すると次のようになる。 ∫ 1 1 − z d z = − log ( 1 − z ) = z 1 1 + z 2 2 + z 3 3 + ⋯ {\displaystyle \int {\tfrac {1}{1-z}}\,dz=-\log(1-z)={\tfrac {z^{1}}{1}}+{\tfrac {z^{2}}{2}}+{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots } これは h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} で n を無限大とした極限と考えられるので、 h ∞ ( z ) {\displaystyle h_{\infty }(z)} と表すことにする。言い換えれば、 h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} は h ∞ ( z ) {\displaystyle h_{\infty }(z)} を有限項で打ち切った形になっている。 ( 1 − z ) = exp ( log ( 1 − z ) ) = exp ( − h ∞ ( z ) ) {\displaystyle (1-z)=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-h_{\infty }(z)\right)} 1 1 − z = exp ( h ∞ ( z ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{1-z}}=\exp \left(h_{\infty }(z)\right)} である。 また、 h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} を微分すると、 h n ′ ( z ) = 1 + z 1 + z 2 + ⋯ + z n − 1 = 1 − z n 1 − z {\displaystyle h'_{n}(z)=1+z^{1}+z^{2}+\cdots +z^{n-1}={\tfrac {1-z^{n}}{1-z}}} となる。 r n ( z ) = h ∞ ( z ) − h n ( z ) {\displaystyle r_{n}(z)=h_{\infty }(z)-h_{n}(z)} と定義すれば、 E n ( z ) = ( 1 − z ) exp ( h n ( z ) ) = ( 1 − z ) exp ( h ∞ ( z ) − r n ( z ) ) {\displaystyle E_{n}(z)=(1-z)\exp(h_{n}(z))=(1-z)\exp(h_{\infty }(z)-r_{n}(z))} = ( 1 − z ) 1 1 − z exp ( − r n ( z ) ) = exp ( − r n ( z ) ) {\displaystyle =(1-z){\tfrac {1}{1-z}}\exp \left(-r_{n}(z)\right)=\exp \left(-r_{n}(z)\right)} r n ( z ) = z n + 1 n + 1 + z n + 2 n + 2 + z n + 3 n + 3 + ⋯ = ∑ k = n + 1 ∞ z n + 1 n + 1 = z n + 1 n + 1 ∑ k = 0 ∞ n + 1 n + 1 + k z k {\displaystyle r_{n}(z)={\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}+{\tfrac {z^{n+2}}{n+2}}+{\tfrac {z^{n+3}}{n+3}}+\cdots =\sum _{k=n+1}^{\infty }{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}={\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {n+1}{n+1+k}}z^{k}} | r n ( z ) | ≤ | z | n + 1 n + 1 ∑ k = 0 ∞ n + 1 n + 1 + k | z | k ≤ | z | n + 1 n + 1 ∑ k = 0 ∞ | z | k = | z | n + 1 n + 1 1 1 − | z | {\displaystyle |r_{n}(z)|\leq {\tfrac {|z|^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {n+1}{n+1+k}}|z|^{k}\leq {\tfrac {|z|^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }|z|^{k}={\tfrac {|z|^{n+1}}{n+1}}{\tfrac {1}{1-|z|}}} である。 以上の性質を利用すると、次の補題が証明できる。 補題（15.8, ルーディン(Rudin)）： | z | ≤ 1 , n ∈ N 0 {\displaystyle |z|\leq 1,n\in \mathbb {N} _{0}} に対し、 | 1 − E n ( z ) | ≤ | z | n + 1 . {\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.} 証明： n = 0 {\displaystyle n=0} の場合は自明なので、 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} とする。 u n ( z ) = 1 − E n ( z ) = 1 − ( 1 − z ) exp h n ( z ) {\displaystyle u_{n}(z)=1-E_{n}(z)=1-(1-z)\exp h_{n}(z)} と置く。 u n ( z ) {\displaystyle u_{n}(z)} は整函数であり、 u n ( 0 ) = 0 {\displaystyle u_{n}(0)=0} 、 u n ( 1 ) = 1 {\displaystyle u_{n}(1)=1} である。 u n ( z ) {\displaystyle u_{n}(z)} を微分すると次のようになる。 u n ′ ( z ) = − E n ′ ( z ) = exp h n ( z ) − ( 1 − z ) h n ′ ( z ) exp h n ( z ) {\displaystyle u'_{n}(z)=-E'_{n}(z)=\exp h_{n}(z)-(1-z)h'_{n}(z)\exp h_{n}(z)} = exp h n ( z ) − ( 1 − z ) 1 − z n 1 − z exp h n ( z ) = z n exp h n ( z ) {\displaystyle =\exp h_{n}(z)-(1-z){\frac {1-z~n}{1-z}}\exp h_{n}(z)=z^{n}\exp h_{n}(z)} u n ( z ) {\displaystyle u_{n}(z)} は整函数であるから、0を中心としたテイラー展開は、 u n ( z ) = z n + 1 ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle u_{n}(z)=z^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} と表される必要がある。さらに u n ′ ( z ) {\displaystyle u'_{n}(z)} の各 z k {\displaystyle z^{k}} の項と比較することにより、 a 0 = 1 n + 1 {\displaystyle a_{0}={\tfrac {1}{n+1}}} 、各 a k {\displaystyle a_{k}} は非負の実数である必要がある。 v n ( z ) = u n ( z ) z n + 1 = ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle v_{n}(z)={\frac {u_{n}(z)}{z^{n+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} と置けば、 v n ( z ) {\displaystyle v_{n}(z)} も整函数であり、 v n ( 0 ) = 1 n + 1 {\displaystyle v_{n}(0)={\tfrac {1}{n+1}}} 、 v n ( 1 ) = 1 {\displaystyle v_{n}(1)=1} である。 | z | ≤ 1 {\displaystyle |z|\leq 1} であれば、 | v n ( z ) | ≤ v n ( | z | ) = u n ( | z | ) | z | n + 1 ≤ v n ( 1 ) = 1 {\displaystyle |v_{n}(z)|\leq v_{n}(|z|)={\frac {u_{n}(|z|)}{|z|^{n+1}}}\leq v_{n}(1)=1} である。従って | 1 − E n ( z ) | = | u n ( z ) | ≤ u n ( | z | ) ≤ | z | n + 1 {\displaystyle |1-E_{n}(z)|=|u_{n}(z)|\leq u_{n}(|z|)\leq |z|^{n+1}} となる。
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