共軛、ノルムおよび逆元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/30 21:27 UTC 版)
八元数 x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 + x 5 e 5 + x 6 e 6 + x 7 e 7 {\displaystyle x=x_{0}\,e_{0}+x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}} の八元数としての共軛は x ∗ = x 0 e 0 − x 1 e 1 − x 2 e 2 − x 3 e 3 − x 4 e 4 − x 5 e 5 − x 6 e 6 − x 7 e 7 {\displaystyle x^{*}=x_{0}\,e_{0}-x_{1}\,e_{1}-x_{2}\,e_{2}-x_{3}\,e_{3}-x_{4}\,e_{4}-x_{5}\,e_{5}-x_{6}\,e_{6}-x_{7}\,e_{7}} で与えられる。共軛は O の主対合であり、(xy)∗ = y∗ x∗ を満足する（積の順番が逆になることに注意）。 共軛を用いると、八元数 x の実部が x + x ∗ 2 = x 0 e 0 {\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\,e_{0}} で、同様に虚部が x − x ∗ 2 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 + x 5 e 5 + x 6 e 6 + x 7 e 7 {\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}} でそれぞれ表せる。実部を持たない純虚八元数の全体 Im(O) は O の 7-次元部分空間を張る。また八元数の共軛は、方程式 x ∗ = − 1 6 ( x + ( e 1 x ) e 1 + ( e 2 x ) e 2 + ( e 3 x ) e 3 + ( e 4 x ) e 4 + ( e 5 x ) e 5 + ( e 6 x ) e 6 + ( e 7 x ) e 7 ) {\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7})} を満足する。 八元数とその共役との積は x∗ x = x x∗ を満たし、 x ∗ x = x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 . {\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.} 故に、常に非負の実数となることがわかる。これを用いて、八元数のノルムを ‖ x ‖ = x ∗ x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}} で定義することができる。このノルムは R8 上の通常のユークリッドノルムに一致する。 O におけるノルムの存在から、O の零でない任意の元に対してその逆元が存在することが導かれる。実際、x ≠ 0 の逆元は x − 1 = x ∗ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}} で与えられ、確かに x x−1 = x−1 x = 1 を満足する。
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