乗法公式

デジタル大辞泉

じょうほう‐こうしき〔ジヨウハフ‐〕【乗法公式】

読み方：じょうほうこうしき

多項式の積を和の形に直す公式。多項式を展開するときに使う。平方の公式：（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²、和と差の積の公式：（a+b）（a−b）＝a²−b²、たすきがけの公式：（ax＋b）（cx＋d）＝acx²＋（ad＋bc）x＋bdなど。展開公式。→確率の乗法定理

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乗法公式

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乗法公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)

「ガンマ関数」の記事における「乗法公式」の解説

次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。 Γ ( n z ) = n n z − 1 / 2 ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n )

乗法公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/24 20:31 UTC 版)

「ペラン数」の記事における「乗法公式」の解説

Binetの公式を用いて、 G(kn) を G(n−1), G(n) , G(n+1) で表すことが出来る。 G ( n − 1 ) = p − 1 p n + q − 1 q n + r − 1 r n G ( n ) = p n + q n + r n G ( n + 1 ) = p p n + q q n + r r n であるが、これは x 3 − x − 1 の分解体上の係数を持つ3つの線型方程式であり、逆行列を求めることで p n , q n , r n を計算することが出来る。これらを k 乗し、和を求めればよい。 magmaでのコードの例を以下に示す。 P := PolynomialRing(Rationals());S := SplittingField(x^3-x-1); P2 := PolynomialRing(S);p,q,r := Explode([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]);Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1);T := PolynomialRing(S,3);v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]);[p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]]; u = G ( n − 1 ) , v = G ( n ) , w = G ( n + 1 ) とすれば 23 G ( 2 n − 1 ) = 4 u 2 + 3 v 2 + 9 w 2 + 18 u v − 12 u w − 4 v w 23 G ( 2 n ) = 18 u w − 4 u v + 6 v w − 6 u 2 + 7 v 2 − 2 w 2 23 G ( 2 n + 1 ) = 9 u 2 + v 2 + 3 w 2 + 6 u v − 4 u w − 14 v w 23 G ( 3 n − 1 ) = ( − 4 u 3 + 2 v 3 − w 3 + 9 ( u v 2 + v w 2 + w u 2 ) + 3 v 2 w + 6 u v w ) 23 G ( 3 n ) = ( 3 u 3 + 2 v 3 + 3 w 3 − 3 ( u v 2 + u w 2 + v w 2 + v u 2 ) + 6 v 2 w + 18 u v w ) 23 G ( 3 n + 1 ) = ( v 3 − w 3 + 6 u v 2 + 9 u w 2 + 6 v w 2 + 9 v u 2 − 3 w u 2 + 6 w v 2 − 6 u v w ) となる。23という数字は定義多項式の判別式に由来する。 これを用いれば、整数演算によってn番目のペラン数を O ( log ⁡ n ) 回の乗算で求めることが出来る。