ローレンツ力を用いた説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 14:40 UTC 版)
「電磁誘導」の記事における「ローレンツ力を用いた説明」の解説
磁束密度 B が時間的に変化せず、導体上の閉じた経路 C の形が変化する場合を考える。このとき電磁誘導の法則は、導体内の電荷に及ぼされるローレンツ力で説明することができる。 経路 C 上の点を位置ベクトル r で表し、C の各点が速度 v(r) で動いているものとする。すると C 上の電荷 q の粒子が受けるローレンツ力は F ( r ) = q v ( r ) × B ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=q{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})} となる。これは C 上に E ( r ) = v ( r ) × B ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})} で表される電場 E が生じているのと等価だから[疑問点 – ノート]、起電力 ℰ は、 E = ∫ C E ⋅ d r = ∫ C ( v × B ) ⋅ d r {\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{C}{\boldsymbol {E}}\cdot d{\boldsymbol {r}}=\int _{C}({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot d{\boldsymbol {r}}} となる。 一方、C が動くことによって C を貫く磁束が変化する。C 上の点 r から C 上を反時計回りに進んだ微小な線分を dr と表す。線分 dr は微小な時間 dt の間に v(r) dt だけ動くため、C を貫く磁束 Φ の変化に対する線分 dr の寄与は、 d 2 Φ = ( v d t × d r ) ⋅ B = − ( v × B ) ⋅ d r d t {\displaystyle d^{2}\Phi =({\boldsymbol {v}}dt\times d{\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {B}}=-({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot d{\boldsymbol {r}}\,dt} となる。これを C 上で積分し、両辺を dt で割ると、 d Φ d t = − ∫ C ( v × B ) ⋅ d r {\displaystyle {\frac {d\Phi }{dt}}=-\int _{C}({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot d{\boldsymbol {r}}} となる。前述の起電力 ℰ の式から、 E = − d Φ d t {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi }{dt}}} が得られる。
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