リスク資産が一つである場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 01:10 UTC 版)
「ハンセン–ジャガナサン境界」の記事における「リスク資産が一つである場合」の解説
リスク資産が一つであるならば、そのグロスのトータルリターンを R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} として 1 = E t [ m t + 1 R t + 1 ] = E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle 1=E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} = E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] + V a r t ( m t + 1 ) V a r t ( R t + 1 ) C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle =E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]+{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} となる。よって相関係数 C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} が-1以上1以下であることに注意すれば、 V a r t ( m t + 1 ) = 1 ( C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) ) 2 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) 2 V a r t ( R t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) 2 V a r t ( R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})={\frac {1}{{\Big (}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big )}^{2}}}{\frac {{\Big (}1-E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]{\Big )}^{2}}{\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}\geq {\frac {{\Big (}1-E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]{\Big )}^{2}}{\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}} となる。特に両辺を E t [ m t + 1 ] {\displaystyle E_{t}\left[m_{t+1}\right]} の2乗で割り、平方根を取れば、 m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} が非負の時、 V a r t ( m t + 1 ) E t [ m t + 1 ] ≥ | E t [ R t + 1 − R f , t + 1 ] V a r t ( R t + 1 − R f , t + 1 ) | {\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}\geq {\Big |}{\frac {E_{t}\left[R_{t+1}-R_{f,t+1}\right]}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}-R_{f,t+1})}}}{\Big |}} となる。右辺はシャープ・レシオの絶対値である。
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