ポアンカレの補助定理の準備
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「ポアンカレの補助定理の準備」の解説
(6-1-1)の A {\displaystyle A} に対し、作用積分 U [ A , p ] {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}} を定義する。 p = ( p 1 ⋮ p n ) {\displaystyle \mathbf {p} =\left({\begin{matrix}{{p}_{1}}\\\vdots \\{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} (6-3-1) を R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の点とする。また、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、さらに D {\displaystyle {\textbf {D}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} を中心に星型とする。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} を中心に星型とは、任意の D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、任意の s ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s\in [0,1]} に対し、 s ( x − p ) + p ∈ D {\displaystyle s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} \in {\textbf {D}}} (6-3-2) であることを意味する。 p {\displaystyle {\textbf {p}}} は固定されているものとする。また、 x {\displaystyle {\textbf {x}}} = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle =\left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} (6-3-3) も固定されていると考える。 式(6-1-1)の、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された1行n列の行列値関数 A {\displaystyle A} に対し、 U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} を U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} = ∫ s = 0 s = 1 ( A ( s ( x − p ) + p ) ⋅ ( x 1 − p 1 ⋮ x n − p n ) ) d s {\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)\right)ds}} (6-3-4) と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数 A ( s ( x − p ) + p ) ⋅ ( x 1 − p 1 ⋮ x n − p n ) {\displaystyle A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} (6-3-5) は、 s {\displaystyle s} についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、 U [ A , p ] {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}} を、点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、実数 U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} を対応させる多変数スカラー値関数 U [ A , p ] ( x ) {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} = U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.={{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} (6-3-6) とする。以降、点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} は、変数とみなす。
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