ベルヌーイの定理と流線曲率の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 08:45 UTC 版)
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外力のない非粘性のバロトロピック流体の定常な流れを考える。非粘性流体の流れを記述するオイラー方程式 D v D t = − 1 ρ ∇ p + f {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}} ∂ ∂ s ( v 2 2 ) e s − v 2 R e r = − ∇ ∫ d p ρ {\displaystyle {\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right){\boldsymbol {e}}_{s}-{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }} と変形できる。 方程式の両辺にそれぞれ e s , e r {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s},\,{\boldsymbol {e}}_{r}} を内積でかけることで、流線方向(接線)成分、半径方向（主法線）成分は、 ∂ ∂ s ( v 2 2 ) = − ∂ ∂ s ∫ d p ρ ∴ ∂ ∂ s ( v 2 2 + ∫ d p ρ ) = 0 − v 2 R = − ∂ ∂ r ∫ d p ρ | r = R ∴ ∂ p ∂ r = ρ v 2 r ( o r ∂ ∂ r ∫ d p ρ = v 2 r ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right)&=-{\partial \over \partial s}\int {\mathrm {d} p \over \rho }\qquad \quad \therefore ~{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right)=0\\-{v^{2} \over R}&=-\left.{\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right|_{r=R}\quad \therefore ~{\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r}\quad \left(\mathrm {or~} {\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }={v^{2} \over r}\right)\end{aligned}}} e s ⋅ ∇ = ∂ ∂ s , e r ⋅ ∇ = ∂ ∂ r {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ={\partial \over \partial s},\,{\boldsymbol {e}}_{r}\cdot \nabla ={\partial \over \partial r}} を使った。 第1式がベルヌーイの定理、第2式が流線曲率の定理に対応する。
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ベルヌーイの定理と流線曲率の定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 10:23 UTC 版)
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ベルヌーイの定理(I)と流線曲率の定理とは運動方程式の流線に関する接線成分と主法線成分に対応する。 外力が無視できる非粘性バロトロピック流体の定常な流れの運動方程式 v ⋅ ∇ v = − ∇ ∫ d p ρ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }} の接線成分と主法線成分は、定常流における加速度の分解により、 ∂ ∂ s ( v 2 2 + ∫ d p ρ ) = 0 ∂ p ∂ r = ρ v 2 r ( o r ∂ ∂ r ∫ d p ρ = v 2 r ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right)=0\\&{\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r}\quad \left(\mathrm {or~} {\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }={v^{2} \over r}\right)\end{aligned}}} となる。ただし、s は流線上の道のり(接線方向)、r は流線を円弧と近似したときの中心(曲率中心)からの距離(主法線方向)を表す。 第1式がベルヌーイの定理、第2式が流線曲率の定理に対応する。一般には、(I)のタイプのベルヌーイの定理では異なる流線間の比較はできないが、流線曲率の定理を使えば異なる流線間での比較ができる。
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