ヒルベルト・ポリア予想
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数学において、ヒルベルト・ポリア予想 (Hilbert–Pólya conjecture) とは、スペクトル理論によるリーマン予想への一つのアプローチの方法である。1910年代に、ヒルベルトとポリアが、リーマン予想の証明は自己共役作用素を見つけることにより得られるのではないかと示唆したことが、この予想の契機である。
- ^ a b Odlyzko, Andrew, Correspondence about the origins of the Hilbert–Polya Conjecture.
- ^ a b Montgomery, Hugh L. (1973), “The pair correlation of zeros of the zeta function”, Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181–193, MR 0337821.
- ^ Rudnick, Zeev; Sarnak, Peter (1996), “Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory”, Duke Journal of Mathematics 81: 269–322, doi:10.1215/s0012-7094-96-08115-6.
- ^ Connes, Alain (1998), Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function, arXiv:math/9811068.
- ^ Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999a), “H = xp and the Riemann zeros”, in Keating, Jonathan P.; Khmelnitski, David E.; Lerner, Igor V., Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder, New York: Plenum, pp. 355–367, ISBN 978-0-306-45933-7.
- ^ Berry, Michael V.; Keating, Jonathan P. (1999b), “The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics”, SIAM Review 41 (2): 236–266, doi:10.1137/s0036144598347497.
- 1 ヒルベルト・ポリア予想とは
- 2 ヒルベルト・ポリア予想の概要
- 3 参考文献の追加
ヒルベルト・ポリア予想
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ヒルベルト・ポリア予想に従うと、複素数の零点 ρ はある線型作用素 T の固有値であるはずである。明示公式の零点を渡る和は、（少なくとも形式的には、）跡（トレース） ∑ ρ F ( ρ ) = Tr ( F ( T ^ ) ) . {\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!} により与えられる。 L-函数の広いクラスについての明示公式は、Weil (1952) で発展した。彼は最初に、アイデアを局所ゼータ函数へ拡張して、この設定での一般化されたリーマン予想のバージョンを、位相群上の超函数の正値性として定式化した。より最近のアラン・コンヌ(Alain Connes)の仕事は、函数解析的な背景へと大きく進み、そのように一般化されたリーマン予想に等価である跡公式をもたらした。少し異なる観点がラルフ・マイヤー(Ralf Meyer)により、アデール的空間上の調和解析を経由してヴェイユの明示公式が導かれた。
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