スペクトル測度によるスペクトル分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「スペクトル測度によるスペクトル分解」の解説
本節の目標は、非有界作用素のもう一つのスペクトル分解方法であるスペクトル測度によるスペクトル分解を定式化する事である。まず、スペクトル測度の概念を定式化する動機を与える為に、有限次元における固有値分解を復習する。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を有限次元のヒルベルト空間とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とする。有限次元の場合、自己共役作用素は必ず固有値分解可能な事が知られている。すなわちAの固有値をλ1、…、λnとし、これらの固有値に対応する固有空間をV1、…、Vnとすると、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元ψは必ず ψ=ψ1＋…＋ψn、 ψ1∈V1、…、ψn∈Vn と表現でき、 Aψ=λ1ψ1＋…＋λnψn が成立する。そこで H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元のVjへの射影変換をPjとすると、明らかに A = ∑ j = 1 n λ j P j {\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j}} が成立する。 スペクトル測度μは、以上の考察を無限次元に拡張する事を可能にする概念であり、Rのボレル可測部分集合Bに対し、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の閉部分線形空間への正射影変換μ(B)を対応させる。スペクトル測度μの概念を直観的に説明するため、再び有限次元の場合を考えると、Bとスペクトルσ(A)={λ1,…,λn}の共通部分が { λ j 1 , … , λ j m } {\displaystyle \{\lambda _{j_{1}},\ldots ,\lambda _{j_{m}}\}} であるとき、スペクトル測度μによるBの像μ(B)は、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の部分空間 V λ j 1 ⊕ ⋯ ⊕ V λ j m {\displaystyle V_{\lambda _{j_{1}}}\oplus \cdots \oplus V_{\lambda _{j_{m}}}} に射影する射影変換である。
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