ストーン表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/08 16:52 UTC 版)
任意の有限ブール代数はある集合の冪として表現できる。この冪集合はブール代数のアトムの集合で、ブール代数の各元はそれに属するアトムの集合（和がブール代数のその元になるもの）に対応付けられる。この冪集合表現はもっと一般に任意の完備かつアトミックなブール代数に対しても構成できる。 完備アトミックでないブール代数の場合にも、冪集合の代わりに集合体を考えることによって冪集合表現の一般化を考えることができる。そのためにやるべき事は、まず有限ブール代数のアトムをその超フィルターに対応付けて、アトムが有限ブール代数の元に属するのはその元がそのアトムに対応する超フィルターに含まれることと定める。これは自身の超フィルターの集合をとり、ブール代数の各元をそれを含む超フィルターに対応付けることによって複体の集合を構成するというブール代数の構成法を導く。この構成法は集合代数としてのブール代数の表現もきちんと誘導し、その表現はストーン表現として知られる。これはブール代数のストーン表現論における基本であり、順序集合論におけるイデアルやフィルターに基づく（デデキント切断に類似した）完備化の例である。 また、二値ブール代数への全射準同型全体の集合を考え、ブール代数の各元にそれをあたまの元へ写すような準同型の全体を対応させることにより複体を与えることもできる（この方法は、ブール代数の超フィルターがちょうどそのような準同型によるあたまの元の原像に一致していることと同値である）。この方法により、ストーン表現を真理値表による有限ブール代数の表現の一般化と見なすこともできる.
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