集合体の分離性・コンパクト性、ストーン双対性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/08 16:52 UTC 版)
「有限加法族」の記事における「集合体の分離性・コンパクト性、ストーン双対性」の解説
集合体が分離的であるとは、台集合における任意の相異なる2点が与えられたとき、一方を含み他方を含まぬような複体が常に存在することを言う。 集合体がコンパクトであるとは、台集合 X 上の任意の真フィルターに対し、そのフィルターに含まれる複体すべての共通部分が空でないことをいう（有限交叉性）。 これらの定義は、集合体の複体全体が生成する位相を考えることからきている。与えられた集合体 X = (X, F) に対し、その複体が生成する位相をもつ位相空間を T(X) で表すと、 T(X) は常に 0-次元空間である。 T(X) がハウスドルフ空間であることと、X が分離的であることとは同値。 T(X) が F を開コンパクト集合全体とするようなコンパクト空間であることと、X がコンパクトであることとは同値。 T(X) が F を開かつ閉な集合全体とするブール空間であることと、X が分離的かつコンパクトであることとは同値。 ブール代数の任意のストーン表現は分離コンパクトであり、対応するブール空間はストーン空間として知られる。ストーン空間の開かつ閉集合は、したがってストーン表現の複体に一致する。ブール代数のストーン表現が、対応するストーン空間からきれいに復元できるという事実において、ブール代数とブール空間との間には双対性が存在し、それはストーン双対性として知られる。
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