スツルム＝リウヴィル型微分方程式
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スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、英: Sturm–Liouville equation）とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式
- 1 スツルム＝リウヴィル型微分方程式とは
- 2 スツルム＝リウヴィル型微分方程式の概要
- 3 例
- 4 Sturm–Liouville 理論
- 5 関連項目
スツルム・リウヴィル理論
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「ヒルベルト空間」の記事における「スツルム・リウヴィル理論」の解説
詳細は「スツルム・リウヴィル理論」および「常微分方程式のスペクトル論（英語版）」を参照 常微分方程式論において、微分方程式の固有関数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。例えば、ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じたスツルム・リウヴィル問題は、常微分方程式論の中心的な問題である。スツルム・リウヴィル問題は区間 [a, b] 上の未知関数 y に対する常微分方程式 − d d x [ p ( x ) d y d x ] + q ( x ) y = λ w ( x ) y {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y} で、一般斉次ロビン境界条件 { α y ( a ) + α ′ y ′ ( a ) = 0 β y ( b ) + β ′ y ′ ( b ) = 0. {\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)=0.\end{cases}}} を満足するものである。関数 p, q, および w は所与で、方程式の解となる関数 y および定数 λ を求める。同問題は、この系の固有値と呼ばれる特定の値の λ に対してだけ解を持つのだが、それのことはこの系に対するグリーン関数によって定まる積分作用素にコンパクト作用素のスペクトル論を適用した結果として得られる。さらにはこの一般論からの別な帰結として、固有値 λ を無限大に発散する単調増大列に並べることができる。
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