ジョルダン測度分解とは? わかりやすく解説

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ジョルダン測度分解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/13 14:15 UTC 版)

ハーンの分解定理」の記事における「ジョルダン測度分解」の解説

ハーンの分解定理一つ帰結として、すべての符号付測度 μ には、ある二つの正の測度 μ+ および μ– の差 μ = μ+ − μ– で表せるような分解唯一存在するというジョルダン分解定理Jordan decomposition theorem)が存在する。ここで、そのような二つ測度 μ+ および μ– のいずれか一つ有限であり、E ⊆ N ならば μ+(E) = 0、E ⊆ P ならば μ−(E) = 0 が任意の μ のハーン分解 (P, N) に対して成り立つ。μ+ および μ– はそれぞれ、μ の正の部分positive part)および負の部分negative part)と呼ばれるそのようなペア (μ+, μ–) は、μ のジョルダン分解Jordan decomposition)と呼ばれる(あるいはしばしば、ハーン=ジョルダン分解呼ばれる)。そのような二つ測度は、次のように定義することが出来る。 μ + ( E ) := μ ( E ∩ P ) {\displaystyle \mu ^{+}(E):=\mu (E\cap P)\,} および μ − ( E ) := − μ ( E ∩ N ) . {\displaystyle \mu ^{-}(E):=-\mu (E\cap N).\,} ただし E は Σ 内の任意の集合で、(P, N) は μ の任意のハーン分解である。 ハーン分解は「本質的に一意であるに過ぎなかったが、ジョルダン分解一意であることに注意されたいジョルダン分解には次のような系が存在する:ある有限符号付測度 μ のジョルダン分解 (μ+, μ−) が与えられた時、Σ 内の任意の E に対して μ + ( E ) = sup B ∈ Σ , B ⊂ E μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{+}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)} および μ − ( E ) = − inf B ∈ Σ , B ⊂ E μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)} が成立するまた、有限な非負測度ペア (ν+, ν–) に対して μ = ν+ − ν– であるなら、 ν + ≥ μ +  and  ν − ≥ μ − {\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}{\text{ and }}\nu ^{-}\geq \mu ^{-}} が成立する。この最後の式は、ジョルダン分解が μ のある非負測度の差への「極小分解であることを意味する。これはジョルダン分解の「極小性」(minimality property)と呼ばれるジョルダン分解の証明: ジョルダン測度分解の存在一意性および極小に関する初等的な証明については、Fischer (2012) を参照されたい。

※この「ジョルダン測度分解」の解説は、「ハーンの分解定理」の解説の一部です。
「ジョルダン測度分解」を含む「ハーンの分解定理」の記事については、「ハーンの分解定理」の概要を参照ください。

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