ジョルダン測度分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 14:15 UTC 版)
「ハーンの分解定理」の記事における「ジョルダン測度分解」の解説
ハーンの分解定理の一つの帰結として、すべての符号付測度 μ には、ある二つの正の測度 μ+ および μ– の差 μ = μ+ − μ– で表せるような分解が唯一つ存在するというジョルダンの分解定理（Jordan decomposition theorem）が存在する。ここで、そのような二つの測度 μ+ および μ– のいずれか一つは有限であり、E ⊆ N ならば μ+(E) = 0、E ⊆ P ならば μ−(E) = 0 が任意の μ のハーン分解 (P, N) に対して成り立つ。μ+ および μ– はそれぞれ、μ の正の部分（positive part）および負の部分（negative part）と呼ばれる。そのようなペア (μ+, μ–) は、μ のジョルダン分解（Jordan decomposition）と呼ばれる（あるいはしばしば、ハーン＝ジョルダン分解と呼ばれる）。そのような二つの測度は、次のように定義することが出来る。 μ + ( E ) := μ ( E ∩ P ) {\displaystyle \mu ^{+}(E):=\mu (E\cap P)\,} および μ − ( E ) := − μ ( E ∩ N ) . {\displaystyle \mu ^{-}(E):=-\mu (E\cap N).\,} ただし E は Σ 内の任意の集合で、(P, N) は μ の任意のハーン分解である。 ハーン分解は「本質的に」一意であるに過ぎなかったが、ジョルダン分解は一意であることに注意されたい。 ジョルダン分解には次のような系が存在する：ある有限符号付測度 μ のジョルダン分解 (μ+, μ−) が与えられた時、Σ 内の任意の E に対して μ + ( E ) = sup B ∈ Σ , B ⊂ E μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{+}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)} および μ − ( E ) = − inf B ∈ Σ , B ⊂ E μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)} が成立する。また、有限な非負測度のペア (ν+, ν–) に対して μ = ν+ − ν– であるなら、 ν + ≥ μ + and ν − ≥ μ − {\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}{\text{ and }}\nu ^{-}\geq \mu ^{-}} が成立する。この最後の式は、ジョルダン分解が μ のある非負の測度の差への「極小」分解であることを意味する。これはジョルダン分解の「極小性」（minimality property）と呼ばれる。 ジョルダン分解の証明： ジョルダン測度分解の存在、一意性および極小性に関する初等的な証明については、Fischer (2012) を参照されたい。
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