インパルス応答
インパルス応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)
「LTIシステム理論」の記事における「インパルス応答」の解説
このシステムにディラックのデルタ関数を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。 ( h ∗ δ ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) δ ( τ ) d τ = h ( t ) {\displaystyle (h*\delta )(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,\delta (\tau )\,d\tau =h(t)} これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。 h ( t ) = h ( t , 0 ) ( with t = t 1 − t 2 ) {\displaystyle h(t)=h(t,0)\ ({\mbox{with }}t=t_{1}-t_{2})} 従って h ( t ) {\displaystyle h(t)} はそのシステムのインパルス応答である。 インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。 x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } この入力をシステムに適用すると、次のようになる。 H x ( t ) = H ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle {\mathcal {H}}x(t)={\mathcal {H}}\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } = ∫ − ∞ ∞ H x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau } （ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため、積分の内側に移動できる） = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) H δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau ){\mathcal {H}}\delta (t-\tau )\,d\tau } （ x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} は t に対して一定であり、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため） = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ {\displaystyle \quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau } （ h ( t ) {\displaystyle h(t)} の定義から） システムに関する全ての情報は、インパルス応答 h ( t ) {\displaystyle h(t)} に含まれている。
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インパルス応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:54 UTC 版)
「LTIシステム理論」の記事における「インパルス応答」の解説
このシステムに離散デルタ関数を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。 ( h ∗ δ ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] δ [ m ] = h [ n ] {\displaystyle (h*\delta )[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,\delta [m]=h[n]} これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。 h [ n ] = h [ n 1 − n 2 , 0 ] where n = n 1 − n 2 {\displaystyle h[n]=h[n_{1}-n_{2},0]\,\!{\mbox{ where }}n=n_{1}-n_{2}} 従って h [ n ] {\displaystyle h[n]} はそのシステムのインパルス応答である。 インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]} のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。 x [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] δ [ n − m ] {\displaystyle x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]} この入力をシステムに適用すると、次のようになる。 H x [ n ] = H ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] δ [ n − m ] {\displaystyle {\mathcal {H}}x[n]={\mathcal {H}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]} = ∑ m = − ∞ ∞ H x [ m ] δ [ n − m ] {\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x[m]\delta [n-m]} （ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため、総和の内側に移動できる） = ∑ m = − ∞ ∞ x [ n ] H δ [ n − m ] {\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n]{\mathcal {H}}\delta [n-m]} （ x [ m ] {\displaystyle x[m]} は n に対して一定であり、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型であるため） = ∑ m = − ∞ ∞ x [ m ] h [ n − m ] {\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]} （ h [ n ] {\displaystyle h[n]} の定義から） システムに関する全ての情報は、インパルス応答 h [ n ] {\displaystyle h[n]} に含まれている。
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インパルス応答
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 09:02 UTC 版)
各部品にかかる電圧のインパルス応答は、それぞれの伝達関数の逆ラプラス変換である。これは、入力電圧がインパルス（ディラックのデルタ関数）の時の回路の応答（出力）を表している。 コンデンサの電圧におけるインパルス応答は次の通り。 h C ( t ) = 1 R C e − t / R C u ( t ) = 1 τ e − t / τ u ( t ) {\displaystyle h_{C}(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)} ここで u ( t ) {\displaystyle u(t)} はヘヴィサイドの階段関数であり、 τ = R C {\displaystyle \tau \ =\ RC} は、時定数である。 同様に、抵抗器の電圧のインパルス応答は次の通りである。 h R ( t ) = δ ( t ) − 1 R C e − t / R C u ( t ) = δ ( t ) − 1 τ e − t / τ u ( t ) {\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)} ここで δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} はディラックのデルタ関数である。
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