真理関数 定義

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真理関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/13 16:29 UTC 版)

定義

真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。

1. 真な命題を表す記号 ： $\curlyvee$
2. 偽な命題を表す記号 ： $\curlywedge$

L を $\curlyvee$ と $\curlywedge$ とだけから成る集合とし、n を自然数とする。そのとき、n 個の L の直積 $\prod _{i=1}^{n}L$ から L への写像を n 変数の真理関数という。

主な真理関数

1 変数の真理関数 ￢ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、A 、B は L の元の変数である。

$\lnot A={\begin{cases}\ \curlywedge &{\mbox{if }}A=\curlyvee \\\ \curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

$A\lor B={\begin{cases}\ \curlywedge &{\mbox{if }}A=B=\curlywedge \\\ \curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

$A\land B={\begin{cases}\ \curlyvee &{\mbox{if }}A=B=\curlyvee \\\ \curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

￢A 、A∨B 、A∧B をそれぞれ、A の否定、A と B との論理和、A と B との論理積という。n 変数の真理関数は全部で $2^{2^{n}}$ 個ある。

真理値表

真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。

￢ の真理値表

A	￢A
$\curlyvee$	$\curlywedge$
$\curlywedge$	$\curlyvee$

∨ の真理値表

A	B	A∨B
$\curlyvee$	$\curlyvee$	$\curlyvee$
$\curlyvee$	$\curlywedge$	$\curlyvee$
$\curlywedge$	$\curlyvee$	$\curlyvee$
$\curlywedge$	$\curlywedge$	$\curlywedge$

∧ の真理値表

A	B	A∧B
$\curlyvee$	$\curlyvee$	$\curlyvee$
$\curlyvee$	$\curlywedge$	$\curlywedge$
$\curlywedge$	$\curlyvee$	$\curlywedge$
$\curlywedge$	$\curlywedge$	$\curlywedge$

真理値表は次のように見る。￢ の真理値表の第 1 行は 「 A = $\curlyvee$ であるとき、￢A = $\curlywedge$ である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 A = $\curlyvee$ 、B = $\curlywedge$ であるとき、A∨B = $\curlyvee$ である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 A = $\curlywedge$ 、B = $\curlyvee$ であるとき、A∧B = $\curlywedge$ である 」 を意味する。