出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/16 13:54 UTC 版)
f {\displaystyle f} をウェイト k {\displaystyle k} の正則保型形式 M k ( Γ ) {\displaystyle M_{k}(\Gamma )} と仮定する。 (ただし、 Γ := S L 2 ( Z ) {\displaystyle \Gamma :=SL_{2}(\mathbb {Z} )} である。) このとき、 m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} に対して、ヘッケ作用素 T k ( m ) : M k ( Γ ) → M k ( Γ ) {\displaystyle T_{k}(m):M_{k}(\Gamma )\rightarrow M_{k}(\Gamma )} は、
によって定義される[1]。 ただし、 σ k ( n ) := ∑ d | n d k {\displaystyle \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}} [2]、また、 a ( n , f ) {\displaystyle a(n,f)} は 正則保型形式 f {\displaystyle f} のフーリエ係数である[3]。
作用素 T k ( m ) {\displaystyle T_{k}(m)} は関係式
を満足するので、 T k := C [ T k ( m ) | m = 1 , 2 ⋯ ] {\displaystyle \mathbb {T} _{k}:=\mathbb {C} \left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots \right]} は可換な C {\displaystyle \mathbb {C} } 代数を構成する[1]。この T k {\displaystyle \mathbb {T} _{k}} をヘッケ環と呼ぶ。 (ただし、ヘッケ環は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある[1]。)
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