バックフィッティングアルゴリズム 2 次元における明示的な導出

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バックフィッティングアルゴリズム

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:14 UTC 版)

2 次元における明示的な導出

2 次元の場合において、明示的にバックフィッティングアルゴリズムを定式化することができる。

$f_{1}=S_{1}(Y-f_{2}),f_{2}=S_{2}(Y-f_{1})$

${\hat {f}}_{1}^{(i)}$ を、i 番目の更新ステップにおける $f_{1}$ の推定値とすると、バックフィッティングステップは、以下となる。

${\hat {f}}_{1}^{(i)}=S_{1}[Y-{\hat {f}}_{2}^{(i-1)}],{\hat {f}}_{2}^{(i)}=S_{2}[Y-{\hat {f}}_{1}^{(i-1)}]$

誘導により、以下の 2 つを得る。

${\hat {f}}_{1}^{(i)}=Y-\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})Y-(S_{1}S_{2})^{i-1}S_{1}{\hat {f}}_{2}^{(0)}$

${\hat {f}}_{2}^{(i)}=S_{2}\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})Y+S_{2}(S_{1}S_{2})^{i-1}S_{1}{\hat {f}}_{2}^{(0)}$

$\alpha$ をゼロと仮定し、${\hat {f}}_{2}^{(0)}=0$ とすると、以下を得る。

${\hat {f}}_{1}^{(i)}=[I-\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})]Y$

${\hat {f}}_{2}^{(i)}=[S_{2}\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})]Y$

これは $\|S_{1}S_{2}\|<1$ のときに収束する。