2 次元における明示的な導出とは? わかりやすく解説

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2 次元における明示的な導出

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/09/14 15:14 UTC 版)

バックフィッティングアルゴリズム」の記事における「2 次元における明示的な導出」の解説

2 次元の場合において、明示的にバックフィッティングアルゴリズム定式化することができる。 f 1 = S 1 ( Y − f 2 ) , f 2 = S 2 ( Y − f 1 ) {\displaystyle f_{1}=S_{1}(Y-f_{2}),f_{2}=S_{2}(Y-f_{1})} f ^ 1 ( i ) {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}} を、i 番目の更新ステップにおける f 1 {\displaystyle f_{1}} の推定値とすると、バックフィッティングステップは、以下となる。 f ^ 1 ( i ) = S 1 [ Y − f ^ 2 ( i − 1 ) ] , f ^ 2 ( i ) = S 2 [ Y − f ^ 1 ( i − 1 ) ] {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}=S_{1}[Y-{\hat {f}}_{2}^{(i-1)}],{\hat {f}}_{2}^{(i)}=S_{2}[Y-{\hat {f}}_{1}^{(i-1)}]} 誘導により、以下の 2 つを得る。 f ^ 1 ( i ) = Y − ∑ α = 0 i − 1 ( S 1 S 2 ) α ( I − S 1 ) Y − ( S 1 S 2 ) i − 1 S 1 f ^ 2 ( 0 ) {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}=Y-\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})Y-(S_{1}S_{2})^{i-1}S_{1}{\hat {f}}_{2}^{(0)}} f ^ 2 ( i ) = S 2 ∑ α = 0 i − 1 ( S 1 S 2 ) α ( I − S 1 ) Y + S 2 ( S 1 S 2 ) i − 1 S 1 f ^ 2 ( 0 ) {\displaystyle {\hat {f}}_{2}^{(i)}=S_{2}\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})Y+S_{2}(S_{1}S_{2})^{i-1}S_{1}{\hat {f}}_{2}^{(0)}} α {\displaystyle \alpha } をゼロ仮定し、 f ^ 2 ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\hat {f}}_{2}^{(0)}=0} とすると、以下を得る。 f ^ 1 ( i ) = [ I − ∑ α = 0 i − 1 ( S 1 S 2 ) α ( I − S 1 ) ] Y {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}=[I-\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})]Y} f ^ 2 ( i ) = [ S 2 ∑ α = 0 i − 1 ( S 1 S 2 ) α ( I − S 1 ) ] Y {\displaystyle {\hat {f}}_{2}^{(i)}=[S_{2}\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})]Y} これは ‖ S 1 S 2 ‖ < 1 {\displaystyle \|S_{1}S_{2}\|<1} のときに収束する

※この「2 次元における明示的な導出」の解説は、「バックフィッティングアルゴリズム」の解説の一部です。
「2 次元における明示的な導出」を含む「バックフィッティングアルゴリズム」の記事については、「バックフィッティングアルゴリズム」の概要を参照ください。

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