リンドハード理論

ウィキペディア

リンドハード理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/12 17:26 UTC 版)

リンドハード理論^[1][2]（リンドハードりろん）とは、固体中の電子による遮蔽効果を計算する手法である。リンドハード理論は、量子力学（第一原理摂動論）と乱雑位相近似に基づいている。

トーマス-フェルミ遮蔽は、より一般的なリンドハード公式の特別な場合として導出される。具体的に言うと波数ベクトルがフェルミ波数ベクトルよりはるかに小さいときのリンドハード公式、すなわち長距離極限がトーマス-フェルミ遮蔽である^[2]。

この記事はCGSガウス単位系を用いることにする。

公式

縦誘電関数のリンドハード公式は次式で与えられる。

${\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{k-q}-E_{k}}}.}$ 3次元における静的に遮蔽されたポテンシャル（上の曲面）とクーロンポテンシャル（下の曲面）。 縮退したガス(T=0)において、フェルミエエネルギーは次式で与えられる。 ${\displaystyle E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}}$, よって密度は、 ${\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{f}\right)^{\frac {3}{2}}}$. T=0では${\displaystyle E_{f}\equiv \mu }$、よって${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{f}}}}$。 これを上述の3次元遮蔽波数の式に代入すると、 ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{f}}}}}$. これは3次元におけるトーマス-フェルミ遮蔽波数である。 なお、デバイ遮蔽は非縮退極限の場合を記述する。結果は${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}}$であり、3次元のデバイ遮蔽波数である。 2次元 長波長極限 まず長波長極限 (${\displaystyle q\to 0}$)を考える。リンドハード公式の分母について、 ${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$, また分子について、 ${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$. これらをリンドハード公式に代入し、極限${\displaystyle \delta \to 0}$をとると、 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$ ここで${\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}}$、${\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$、${\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$を用いた。 静止限界 次に静止極限(${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$)を考える。リンドハード公式は次のようになる。 ${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$. 上述の式を分母と分子に代入すると、 ${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$ 熱平衡でのフェルミ-ディラックキャリア分布を仮定すると、 ${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$ ここで${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$、${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$を用いた。 よって、 ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}$ $\kappa$は${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$で定義される2次元での遮蔽波数（2次元での遮蔽長の逆数）である。 ここで2次元での静的に遮蔽されたクーロンポテンシャルは次式で与えられる。 ${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}$. 2次元フェルミ気体の化学ポテンシャルは次式で与えられることが知られている。 ${\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}}$, また${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}$である。 よって2次元での遮蔽波数は、 ${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.}$ これはnに依存しないことに注意。 1次元 ここでは次元を下げたいくつかの限られた場合を考える。次元を下げると、遮蔽効果は弱くなる。低次元では、一部の力線が遮蔽効果が無い物質を貫く。1次元の場合、ワイヤ軸に非常に近い力線にのみ遮蔽が影響を与えると考えられる。 実験 実際の実験では、単一フィラメントのような1次元の場合を扱っていたとしても、3次元バルクの遮蔽効果も考慮する必要がある。D. Davisは、フィラメントと同軸円筒に閉じ込められた電子ガスにトーマス-フェルミ遮蔽を適用した[3]。K2Pt(CN)4Cl0.32·2.6H20では、フィラメントと同軸円筒との間の領域内のポテンシャルは${\displaystyle e^{-k_{eff}r}/r}$で変化し、有効遮蔽長は金属白金の約10倍であることが分かっている。 関連項目 遮蔽 参考文献 ^ Lindhard, J. (1954). “On the properties of a gas of charged particles”. Danske Matematisk-fysiske Meddeleiser (Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab) 28 (8): 1–57. http://gymarkiv.sdu.dk/MFM/kdvs/mfm%2020-29/mfm-28-8.pdf 2016年9月28日閲覧。.  ^ a b N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976) ^ D. Davis Thomas-fermi screening in one dimension, Phys. Rev. B, 7(1), 129, (1973) Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.. ISBN 981-238-609-2  急上昇のことば こだわる 拘る こだわり デスチワワ アゲサゲ 英和和英テキスト翻訳 >> Weblio翻訳 英語⇒日本語日本語⇒英語    >> 「リンドハード理論」を含む用語の索引  リンドハード理論のページへのリンク 辞書ショートカット 1 ウィキペディア カテゴリ一覧 全て ＋ ビジネス ＋ 業界用語 ＋ コンピュータ ＋ 電車 ＋ 自動車・バイク ＋ 船 ＋ 工学 ＋ 建築・不動産 ＋ 学問 ＋ 文化 ＋ 生活 ＋ ヘルスケア ＋ 趣味 ＋ スポーツ ＋ 生物 ＋ 食品 ＋ 人名 ＋ 方言 ＋ 辞書・百科事典 すべての辞書の索引 あいうえお かきくけこ さしすせそ たちつてと なにぬねの はひふへほ まみむめも やゆよ らりるれろ わをん がぎぐげご ざじずぜぞ だぢづでど ばびぶべぼ ぱぴぷぺぽ ＡＢＣＤＥ ＦＧＨＩＪ ＫＬＭＮＯ ＰＱＲＳＴ ＵＶＷＸＹ Ｚ １２３４５ ６７８９０ 記号 Weblioのサービス 英会話コラム Weblio英会話 英語の質問箱 語彙力診断 スピーキングテスト 「リンドハード理論」の関連用語 1 リンドハード公式の解析 ウィキペディア小見出し辞書 100% ||||| 2 1次元 ウィキペディア小見出し辞書 100% ||||| 3 長波長極限 ウィキペディア小見出し辞書 36% ||||| 4 静止限界 ウィキペディア小見出し辞書 32% ||||| リンドハード理論のお隣キーワード リンドグレーン (小惑星) リンドグレーン (映画) リンドシェーバー リンドス リンドストローム リンドハースト高校銃乱射事件 リンドハード理論 リンドバーグ リンドバーグ (漫画) リンドバーグ愛児誘拐事件 リンドブラディア (小惑星) リンドブルム リンドブルム (ゲーム会社) 検索ランキング 英和和英テキスト翻訳 >> Weblio翻訳     英語⇒日本語 日本語⇒英語     リンドハード理論のページの著作権 Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。     All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License. この記事は、ウィキペディアのリンドハード理論 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。 ビジネス｜業界用語｜コンピュータ｜電車｜自動車・バイク｜船｜工学｜建築・不動産｜学問 文化｜生活｜ヘルスケア｜趣味｜スポーツ｜生物｜食品｜人名｜方言｜辞書・百科事典 ご利用にあたって ・Weblio辞書とは ・検索の仕方 ・ヘルプ ・利用規約 ・プライバシーポリシー ・サイトマップ 便利な機能 ・ウェブリオのアプリ ・画像から探す お問合せ・ご要望 ・お問い合わせ 会社概要 ・公式企業ページ ・会社情報 ・採用情報 ウェブリオのサービス ・Weblio 辞書 ・類語・対義語辞典 ・英和辞典・和英辞典 ・Weblio翻訳 ・日中中日辞典 ・日韓韓日辞典 ・フランス語辞典 ・インドネシア語辞典 ・タイ語辞典 ・ベトナム語辞典 ・古語辞典 ・おすすめのプログラミングスクール情報「Livifun」 ©2025 GRAS Group, Inc.RSS      ログイン ※半角英数字、6文字以上、32文字以内で入力してください ログイン パスワードを忘れた方はこちらから 別サービスのアカウントで登録・ログイン アカウントをお持ちでない方 新規会員登録（無料）