Jordan標準形

ウィキペディア

ジョルダン標準形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/08 15:16 UTC 版)

ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、英: Jordan normal form）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンに因む。

定義

行列

次の形の n次正方行列をジョルダン細胞という^[1]。

${\displaystyle J_{n}(\lambda )={\begin{bmatrix}\lambda &1&\cdots &\cdots &0\\\vdots &\lambda &1&&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &\cdots &\lambda \end{bmatrix}}}$

代数的閉体 K 成分の正方行列 A に対して、ある正則行列 P を取ると

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}J_{n_{1}}(\lambda _{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &J_{n_{k}}(\lambda _{k})\end{bmatrix}}}$

となる^[2]。このとき λ_i は A の固有値である。この行列 J =P⁻¹AP のことを、行列 A のジョルダン標準形という^[3]。

線形変換

代数的閉体 K 上の有限次元線形空間を V とし、線形変換 ƒ : V → V をとる。 ƒ が半単純 (semisimple) であるとは、線形空間 V が ${\displaystyle V=\bigoplus V_{\lambda }}$ と ƒ の固有値 λ ∈ K の固有空間 V_λ = { v ∈ V | ƒ(v) = λ } の直和として表せることである。 また ƒ が 冪零 (nilpotent) であるとは、ある自然数 r が存在して f^r = 0 となることである。

線形変換 ƒ : V → V に対して、半単純線形変換 ƒ_s と冪零線形変換 ƒ_n で

$f=f_{\rm {s}}+f_{\rm {n}},\quad f_{\mathrm {s} }f_{\mathrm {n} }-f_{\mathrm {n} }f_{\mathrm {s} }=0$

を満たすものが一意的に存在する。このとき ƒ = ƒ_s + ƒ_n のことを（加法的）ジョルダン分解といい、ƒ_s を ƒ の半単純成分、ƒ_n を ƒ の冪零成分という。

線形空間 V の基底 ${\displaystyle \{\,e_{i,j}\mid i=1,\dotsc ,k;~j=1,\dotsc ,n_{i}\,\}}$ が線形変換 ƒ のジョルダン基底 であるとは、e_i,0 = 0 とおいたとき

${\displaystyle f(e_{i,j})=\lambda _{i}e_{i,j}+e_{i,j-1}}$

が基底の任意の元 e_i,j について成り立つことである。ジョルダン基底に関する ƒ の表現行列がジョルダン標準形である。

特性多項式、最小多項式との関係

正方行列 A のジョルダン標準形 J = P⁻¹AP と、特性多項式 ${\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)}$、最小多項式 ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ には次のような関係がある。

なお、最小多項式とは f(A) = O となる多項式 f(x) のうち、次数が最小で、最高次係数が 1 のもの（モニック）を言う。f(A) = O となる多項式 f(x) は、多項式として ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ で割り切れる（多項式としての除算の余りがゼロとなる）という性質がある。ケイリー・ハミルトンの定理により f_A(A) = O であり、f_A(x) は多項式として ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ で割り切れる。

(1) ${\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)=\det P^{-1}\det(xI-A)\det P=\det(xI-P^{-1}AP)=\det(xI-J)=f_{J}(x)}$ より、

${\displaystyle f_{A}(x)=f_{J}(x)}$

(2) 多項式${\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}$ について、${\displaystyle f(P^{-1}XP)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}(P^{-1}XP)^{k}=P^{-1}\sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}X^{k}P=P^{-1}f(X)P}$ が言えるため、次が言える。

${\displaystyle \varphi _{A}(J)=\varphi _{A}(P^{-1}AP)=P^{-1}\varphi _{A}(A)P=O}$ よって ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ は、多項式として ${\displaystyle \varphi _{J}(x)}$ で割り切れる

${\displaystyle \varphi _{J}(A)=\varphi _{J}(PJP^{-1})=P\varphi _{J}(J)P^{-1}=O}$ よって ${\displaystyle \varphi _{J}(x)}$ は、多項式として ${\displaystyle \varphi _{A}(x)}$ で割り切れる

最小多項式はモニックであるため ${\displaystyle \varphi _{A}(x)=\varphi _{J}(x)}$

(3) 特性多項式が ${\displaystyle f_{A}(x)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{n_{k}}}$ と因数分解（λ_k は相異なる）される場合、${\displaystyle \dim(A)=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{m}n_{k}}$ であり、J の対角線上には λ_k が n_k個並ぶ。

(4) 最小多項式が ${\displaystyle \varphi _{A}(x)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{r_{k}}}$ と因数分解（λ_k は相異なる）される場合、J の固有値 λ_k のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は r_k である。

例1 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})}$、最小多項式が ${\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})}$の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}}$

例2 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$、最小多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{bmatrix}}}$

例3 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$、最小多項式が ${\displaystyle x-\lambda }$ の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}}$

例4 特性多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{4}}$、最小多項式が ${\displaystyle (x-\lambda )^{2}}$ の場合、${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &1\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}$ または ${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}}$

例

対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。

次の複素成分正方行列 A のジョルダン標準形は次のようになる。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\-2&5\end{bmatrix}},~P={\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}\\1&0\end{bmatrix}},~P^{-1}AP={\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}}}$

また次で定めるベクトル u, v は Au = 3u と Av = 3v + u とを満たすので行列 A のジョルダン基底である。

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},~v={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}}$

この行列 A の半単純成分 S と冪零成分 N への分解は次のようになる。

${\displaystyle S=P{\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}}P^{-1}={\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}},~N=P{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}P^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\-2&2\end{bmatrix}},~A=P\left({\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)P^{-1}=S+N}$

この分解は N² = 0 や SN = NS が成り立つので、 行列の指数関数や冪乗の計算に役立つ。

${\displaystyle e^{At}=e^{St+Nt}=e^{St}e^{Nt}=e^{St}(I+Nt)=e^{3t}{\begin{bmatrix}1-2t&2t\\-2t&1+2t\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{n}=(S+N)^{n}=S^{n}+nS^{n-1}N=3^{n-1}{\begin{bmatrix}3-2n&2n\\-2n&3+2n\end{bmatrix}}}$

アルゴリズム

n次正方行列 A のジョルダン標準形は次のように計算できる^[4]。以下では n次単位行列を I で表す。

入力

n次正方行列 A

出力

P⁻¹AP がジョルダン標準形となる n次正則行列 P

アルゴリズム

1. 行列 A の相異なる固有値 λ₁, …, λ_s を求める
2. A_i = A − λ_i I とおく
3. rank A_i ^k_i = rank A_i ^k_i+1 となる最小の自然数 k_i を求める
4. W_i,j = im A_i ^j ∩ ker A_i とおく
5. 部分空間の増大列 W_i,ki−1 ⊂ … ⊂ W_i,1 ⊂ W_i,0 = ker A_i に沿って ker A_i の基底 b_i,1, …, b_i,ti を求める^[5]
6. b_i,j ∈ W_i,di,j − W_i,di,j+1 となる自然数 d_i,j を求める
7. 連立一次方程式 A_i ^d_i,j x_i,j = b_i,j の解 x_i,j を求める
8. e_i,j = A_i ^j x_i,j とおく
9. P_i,j = [e_i,di,j, …, e_i,1, e_i,0] とおく
10. P = [P_1,1, …, P_1,t1, …, P_s,1, …, P_s,ts] を出力

標準形の存在証明

定理

任意の線形変換 f に対しジョルダン基底は存在する。

証明は線形空間の次元 $n=\dim V$ についての帰納法で、n = 1 なら全ての基底がジョルダン基底だからOK、n − 1 までOKとして、$n=\dim V$ とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。

補題

${\displaystyle \{e_{i,j}\}}$ が f のジョルダン基底なら、${\displaystyle f-\lambda 1_{V}}$ のジョルダン基底でもある。ここで λ はスカラー。

この補題により ${\displaystyle \operatorname {rank} f=r<n}$ の場合に示せばよい。このとき $V'=\operatorname {im} f,\ f'=f|_{V'}$ とすると、帰納法の仮定で、f' のジョルダン基底 ${\displaystyle \{e_{ij}\}}$ が取れる。番号を $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\dotsb =\lambda _{s}=0$、i > s なら λ_i ≠ 0 となるようにとる。${\displaystyle e_{1,1},e_{2,1},\dotsc ,e_{s,1}}$ は ${\displaystyle \ker f}$ の元で線形独立だから、これらに ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n-r-s}}$ を加えて ${\displaystyle \ker f}$ の基底を作る。また V の元 $c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{s}$ を ${\displaystyle f(c_{i})=e_{i,n_{i}}}$ となるようにとる。このとき n 個のベクトル ${\displaystyle \{e_{i,j}\}\cup \{b_{i}\}\cup \{c_{i}\}}$ が線形独立であることは容易に分かり、これらは V の基底である。${\displaystyle c_{i}=e_{i,n_{i}+1},\ b_{i}=e_{k+i,1}}$ と番号づけると、これが f のジョルダン基底となる。[証明終わり]

$V=K^{n}$ で f が行列 $A=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})$ で表されるとき、 $\operatorname {rank} A=r$ なら、$a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}$ が線形独立としてよい。このとき ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}}$ は行変形で ${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{r}&R\\0&0\end{bmatrix}}}$ と簡約化される。

命題

上のとき、$a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}$ は V' の基底であるが、この基底に関する f' の表現行列は ${\displaystyle A_{1,1}+RA_{2,1}}$ である。

命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。

脚注

1. ^ 斎藤 1966, p. 187.
2. ^ 斎藤 1966, 第6章 定理[2.2].
3. ^ 斎藤 1966, p. 191.
4. ^ Hogben 2007, 6-5.
5. ^ つまり 1 ≤ d₁ ≤ d₂ ≤ … ≤ t_i があって、W_i,ki−1 = ⟨ b_i,1, …, b_i,d1 ⟩, W_i,ki−2 = ⟨ b_i,1, …, b_i,d2 ⟩, …, W_i,0 = ⟨ b_i,1, …, b_i,ti ⟩ となるように基底をとる

参考文献

• 斎藤正彦『線型代数入門』（初版）東京大学出版会、1966年。ISBN 978-4-13-062001-7。 
• Hogben, Leslie, ed (2007). Handbook of Linear Algebra. Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8. https://books.google.com/books?id=n2g-x1OIbvYC 

関連項目

• 対角化
• スペクトル定理

外部リンク

• 『ジョルダン標準形の意味と求め方』 - 高校数学の美しい物語

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア Matrix Laboratory Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo INTLAB OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則