Catmull-Romスプライン曲線

ウィキペディア

Catmull-Romスプライン曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/29 05:39 UTC 版)

Catmull-Romスプライン（英語: Catmull–Rom spline）は、カーディナルスプラインの特殊な場合のひとつ。「一様な」パラメータ間隔を前提とする。3次エルミートスプラインにおいて、接ベクトルとして $${\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}$$

Catmull-Romスプライン曲線の例

曲線の両端に2つの追加点が必要である。 一様なCatmull-Romスプラインの実装では、ループと自己交差が発生する可能性がある。 chordal および centripetal Catmull-Rom スプライン実装はこの問題を解決するが、計算方法が若干異なる。

コンピューターグラフィックスでは、キーフレーム間の滑らかな補間モーションを取得するために Catmull-Rom スプラインが頻繁に使用される。たとえば、離散キーフレームから生成されるカメラパスアニメーションのほとんどは、Catmull-Romスプラインを使用して処理される。これらは主に、計算が比較的容易であること、各キーフレームの位置が正確にヒットすることを保証すること、生成された曲線の接線が複数のセグメントにわたって連続していることを保証することから人気がある。

定義（CatmullとRomによる）

文献は複数の方式の補間曲線の比較である。 以下のブレンディング関数のグラフや実験結果が示されており、この内『例3』がCatmull-Romスプライン曲線である。

	Interval Width	Differentiability	Type	Degree of Polynomial for Cardinal Function
例1	3	1	B-SPLINE
例2	4	2	BEZIER
例3	4	1	B-SPLINE	1
例4	6	2	B-SPLINE	2

定義式は、 $$\mathbf {F} (t)=\sum _{j}^{}{\mathbf {p} }_{j}C_{jk}(t)$$

ブレンディング関数は以下の基数関数（cardinal function）である。

線形ラグランジュ補間を使用するので $k=1$

$C_{0,1}(t)$

この $w(t)$

連続性

Catmull-Romスプライン曲線は定義および以下によりC1連続であり、C2連続ではない。 $${\mathbf {F} }_{k}'(1)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {p} }_{k-1}\\{\mathbf {p} }_{k}\\{\mathbf {p} }_{k+1}\\{\mathbf {p} }_{k+2}\end{bmatrix}}={\mathbf {F} }_{k+1}'(0)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-1&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {p} }_{k}\\{\mathbf {p} }_{k+1}\\{\mathbf {p} }_{k+2}\\{\mathbf {p} }_{k+3}\end{bmatrix}}$$

ベジェ曲線への変換

ベジェ曲線への変換例（赤がベジェ曲線の制御点）

3次ベジェ曲線の行列形式は $$\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\mathbf {p_{bz}} }_{0}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{1}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{2}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{3}\end{bmatrix}}$$

テンションパラメータのキーフレーム補間モーションに対する視覚的作用を示した例（白丸：キーフレーム、青： $\tau =0.2$

ベジェ曲線への変換例（ $\tau =1.0$）

また、等価な3次ベジェ曲線の制御点は $${\begin{bmatrix}{\mathbf {p_{bz}} }_{0}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{1}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{2}\\{\mathbf {p_{bz}} }_{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}0&3&0&0\\-\tau &3&\tau &0\\0&\tau &3&-\tau \\0&0&3&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{k-1}\\\mathbf {p} _{k}\\\mathbf {p} _{k+1}\\\mathbf {p} _{k+2}\end{bmatrix}}$$ である。

参考文献

• de Boor, Carl (1978). A Practical Guide to Spline. ISBN 0-387-90356-9 
• Gordon, William J.; Riesenfeld, Richard F. (1974), “B-spline curves and surfaces”, in Barnhill, Robert E.; Riesenfeld, Richard F., Computer Aided Geometric Design - Proceedings of a Conference Held at The University of Utah, Salt Lake City, Utah, March 18-21, 1974, New York: Academic Press, pp. 95–126, ISBN 0-12-079050-5 

関連項目

• 3次エルミートスプライン
• Centripetal Catmull-Romスプライン
• バイキュービック補間
• ベジェ曲線
• スプライン曲線
• B-スプライン曲線
• Kochanek–Bartelsスプライン曲線

外部リンク

• Fussy - 曲線描画