アーベル多項式
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/03/06 00:27 UTC 版)
アーベル多項式（アーベルたこうしき、英: Abel polynomials）は、a を定数として \[ A_n(x;a)=x(x-an)^{n-1}\qquad (n\ge 1) \] で定義される多項式列である。二項型（binomial type）の多項式列の代表例として現れ、陰計算（umbral calculus）やシェファー列の理論、組合せ論的恒等式（アーベル恒等式など）と関係する。[1][2]
定義
通常 \[ A_0(x;a)=1,\qquad A_n(x;a)=x(x-an)^{n-1}\ (n\ge 1) \] とする。パラメータ a の取り方により、（係数展開を含む）具体形が変わる。[1]
二項型と基本恒等式
アーベル多項式列は二項型の多項式列として扱われ、加法に関する恒等式（アーベル型の二項恒等式）を満たすことが知られている。たとえば、アーベル恒等式の古典的形の一つは \[ (x+y)^n=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\,x(x-iz)^{i-1}\,(y+iz)^{n-i} \] であり、二項恒等式の一般化として位置づけられる。[3]
また、二項型多項式列全体がアーベル多項式で表現できるという結果が知られており、二項型の理論においてアーベル多項式が中心的役割を果たすことを示している。[2]
母関数
アーベル多項式は指数型母関数（exponential generating function）で特徴づけられ、LambertのW関数を用いた表示が与えられる。[1]
陰計算・シェファー列との関係
アーベル多項式は、陰計算の枠組み（シェファー列・デルタ作用素など）における基本例として現れることが多い。二項型多項式列が陰計算的構造で統一的に扱えること、およびアーベル多項式がその表現理論と結びつくことは、Rota らの流れの研究として位置づけられる。[2]
例
{{{1}}} のとき、最初の数項は次のとおりである。[4]
- {{{1}}}
- {{{1}}}
- {{{1}}}
- {{{1}}}
{{{1}}} のときも同様に計算できる。[4]
参考文献
- [2]
- Weisstein, Eric W.. “Abel Polynomial -- from Wolfram MathWorld”. mathworld.wolfram.com. 2026年3月6日閲覧。
外部リンク
- Weisstein, Eric W.. “Abel Polynomial”. Wolfram MathWorld. 2026年3月6日閲覧。
脚注
- ^ a b c Weisstein, Eric W.. “Abel Polynomial -- from Wolfram MathWorld”. mathworld.wolfram.com. 2026年3月6日閲覧。
- ^ a b c d Rota, Gian-Carlo; Shen, Jianhong; Taylor, Brian D. (1997). “All polynomials of binomial type are represented by Abel polynomials”. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze. Ser. 4 25 (3-4): 731--738.
- ^ Huang, Fengying; Bolian Liu (2010). “The Abel-type polynomial identities”. The Electronic Journal of Combinatorics 17: R10.
- ^ a b “OEIS A137452 (Abel polynomials coefficients; example)”. oeis.org. 2026年3月6日閲覧。
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