特定の二階方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/22 08:45 UTC 版)
方程式 y ″ + 4 y ′ + 4 y = cosh x {\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}} y ″ + 4 y ′ + 4 y = 0 {\displaystyle y''+4y'+4y=0} λ 2 + 4 λ + 4 = ( λ + 2 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}} | e − 2 x x e − 2 x − 2 e − 2 x − e − 2 x ( 2 x − 1 ) | = e − 4 x {\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\end{vmatrix}}=e^{-4x}} である。これは 0 でないから、この二つの函数は確かに斉次方程式の一般解を生成する。 従って、A(x)u1 + B(x)u2 が非斉次方程式の一般解となるような A(x), B(x) を求めればよいが、それには積分 A ( x ) = − ∫ 1 W u 2 ( x ) b ( x ) d x , B ( x ) = ∫ 1 W u 1 ( x ) b ( x ) d x {\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)b(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)b(x)\,dx} { A ( x ) = − ∫ x e 2 x cosh x d x = − 1 18 e x ( 9 ( x − 1 ) + e 2 x ( 3 x − 1 ) ) + C 1 B ( x ) = ∫ e 2 x cosh x d x = 1 6 e x ( 3 + e 2 x ) + C 2 {\displaystyle {\begin{cases}A(x)=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,dx=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}\\B(x)=\int e^{2x}\cosh {x}\,dx={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}\end{cases}}} が求まる。ただし、C1, C2 は積分定数である。
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