忠実加群

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忠実加群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/03/25 08:38 UTC 版)

環 A 上の（左または右）加群 M は、その零化イデアル Ann_A (M) が {0} であるときに、忠実（英: faithful）であるという。言い換えると、各 の作用が自明でない（ある x ∈ M に対して α・x ≠ 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 が単射である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 は、単射準同型 によって分解する。ker ψ は Ann_A (M) に他ならないので、 によって M に A / Ann_A (M)-加群としての構造が入り、このとき は単射なので M は忠実である。

性質

A-加群 M の任意の元 x に対して M_x = M とおくと、写像

は A-準同型である。このとき ker φ = Ann_A (M) なので、準同型定理より

を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は（自然にA-加群と見て） の部分加群に同型である。

参考文献

• 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久 『環と加群のホモロジー代数的理論』 日本評論社、2002年、第1版。ISBN 4-535-78367-5。