リサジュの曲線とは？わかりやすく解説

x=A\cos(at),\ y=B\sin(bt+\delta ).

リサジュー曲線 (Lissajous curve) とは、互いに直交する二つの単振動を合成して得られる平面図形のこと。“リサージュ”と表記されることもある^[1]^[2]。それぞれの振動の振幅、振動数、初期位相の違いによって、多様な曲線が描かれる。振動数の比が無理数の場合は閉曲線にはならず、軌道は有限の平行四辺形領域を稠密に埋める。

1855年にフランスの物理学者ジュール・アントワーヌ・リサジュー (J.A. Lissajous, 1822年-1880年) が考案したとされ、これらの曲線族の呼び名は彼の名にちなむ。また、これらの曲線族について1815年にナサニエル・バウディッチ（英語版） (Nathaniel Bowditch) の先行的な研究が見られるため、バウディッチ曲線（ボウディッチ曲線）と呼ばれることもある。

オシロスコープをX-Y入力モードに設定して、各入力に上記の x, y を入力するとリサジュー波形を観測することができる。

リサジュー曲線は、周波数の測定に用いられることが多く、基準波を横軸に、被測定波を縦軸に入力すると、上下に描かれた山の数と、左右に描かれた山の数が、基準波と被測定波の周波数比となって現れる。これを基に周波数を測定することが出来る。この周波数測定法を、比較法という。

また、お互いの信号の位相が安定しないと曲線は常に変化を繰り返す為、複数のモーターの位相合わせ、ICなどの信号の同期合わせ、テープレコーダーのアジマス調整などにも利用されている。

具体例

以下の例は $| a - b | = 1$ で $δ = π / 2$ , 奇数 $a$ , 偶数 $b$ の例である。

$a = 1, b = 2$ (1:2)
$a = 3, b = 2$ (3:2)
$a = 3, b = 4$ (3:4)
$a = 5, b = 4$ (5:4)

脚注

^ このように表記に揺れがあるが、例えば長倉三郎他（編）『岩波理化学辞典第5版』岩波書店 ISBN 978-4000800907 での見出しは「リサジュー図形」である。
^ 「リサージュ」となっている例として、木田祐司ほか16名（著）『改訂版数学C』数研出版平成19年3月15日検定済（文部科学省検定済教科書/高等学校数学科用）p.93には「リサージュ曲線」とあることなどがあげられる。

外部リンク

『リサージュ曲線の定義とそれに関連する話』 - 高校数学の美しい物語

[1] このように表記に揺れがあるが、例えば長倉三郎他（編）『岩波理化学辞典第5版』岩波書店 ISBN 978-4000800907 での見出しは「リサジュー図形」である。

[2] 「リサージュ」となっている例として、木田祐司ほか16名（著）『改訂版数学C』数研出版平成19年3月15日検定済（文部科学省検定済教科書/高等学校数学科用）p.93には「リサージュ曲線」とあることなどがあげられる。

[1]

[2]

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リサジュー図形

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関連項目

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