マイスナー方程式

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マイスナー方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/06 04:34 UTC 版)

数学におけるマイスナー方程式（マイスナーほうていしき、英: Meissner equation）とは、ヒル微分方程式の特殊例であるような線型常微分方程式で、その周期関数が矩形波で与えられるようなものである^{[1] [2]}。マイスナー方程式を記述する方法は多く存在する。一つ目は、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+(\alpha ^{2}+\omega ^{2}\operatorname {sgn} \cos(t))=0}$

あるいは

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+(1+rf(t;a,b))y=0}$

である。ここで

${\displaystyle f(t;a,b)=-1+2H_{a}(t\mod (a+b))}$

であり、${\displaystyle H_{c}(t)}$ は ${\displaystyle c}$ にシフトされたヘビサイド関数である。他には

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(1+r{\frac {\sin(\omega t)}{|\sin(\omega t)|}}\right)y=0}$

などのようにも記述される。マイスナー方程式ははじめ、ある共振問題に関する簡単な問題として研究された。それはまた、進化生物学における共振問題を理解する上でも役に立つ。

マイスナー方程式の時間依存性は区分線型であるため、マシュー函数とは異なり、多くの計算を正確に実行することが出来る。${\displaystyle a=b=1}$ のとき、そのフロケ指数は二次方程式

${\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda \cosh({\sqrt {r}})\cos({\sqrt {r}})+1=0.}$

の根であるが、フロケ行列の行列式は 1 であるため、${\displaystyle |\cosh({\sqrt {r}})\cos({\sqrt {r}})|<1}$ であれば原点は中心であり、そうでない場合はサドルノードとなる。

参考文献

1. ^ Richards, J. A. (1983). Analysis of periodically time-varying systems. Springer-Verlag. ISBN 9783540116899. LCCN 82-5978 
2. ^ E. Meissner (1918年). “Ueber Schüttelerscheinungen in Systemen mit periodisch veränderlicher Elastizität”. Schweiz. Bauzeit. 72 (11): pp. 95–98