ホフスタッター点

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ホフスタッター点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/11/23 20:16 UTC 版)

ユークリッド幾何学において、 ホフスタッター点（ほふすたったーてん、Hofstadter points）とは三角形の中心の集合の一つである。そのうち二つはホフスタッター1点、ホフスタッター0点と呼ばれる有名点で、クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではそれぞれX(359)、X(360)として登録されている。X(360)は、1992年、ダグラス・ホフスタッターによって発見された。

ホフスタッター三角形

△ABC と実数rがある。

点Aのある方向へ、線分BCを点Bを中心にrB回転した線をL_BC、点Cを中心にrC回転した点をL'_BCとし、その二直線の交点をA(r)とする。同様にB(r)、C(r)も定義する。A(r), B(r), C(r) の成す三角形は△ABCのホフスタッターr三角形（またはrホフスタッター三角形）と呼ばれる。

特別な場合

• ホフスタッター 1/3三角形は、第一モーリーの三角形と呼ばれる正三角形である。
• ホフスタッター 1/2三角形は、単に内心となる。
• ホフスタッター 2/3三角形は、第一モーリーの付属三角形である。

三線座標

ホフスタッターr三角形の各頂点の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\begin{array}{ccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{array}}$$

ホフスタッター点のアニメーション。 H₀ はホフスタッター0点で H₁ はホフスタッター1点. 赤い線は0 < r < 1の範囲のホフスタッターr点の軌跡を表す。この軌跡は内心I を通る。

実数rについて△ABCに対するホフスタッターr三角形の頂点をA(r), B(r), C(r)とする。このときAA(r), BB(r), CC(r)は共点で、その点を△ABCのホフスタッターr点と言う。

特別な場合

• ホフスタッター1/2点は内心
• ホフスタッター2点は外心
• ホフスタッター-1点は垂心
• ホフスタッター1/3点は第一モーリー・テイラー・マール心X₃₅₇
• ホフスタッター2/3点は第二モーリー・テイラー・マール心X₃₅₈

ホフスタッターr点の三線座標

ホフスタッターr点の三線座標は以下の様に与えられる。 $${\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}$$