ノームに関する展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/22 05:41 UTC 版)
「ヤコビの楕円関数」の記事における「ノームに関する展開」の解説
ノームを q = exp ( − π K ′ / K ) {\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)} とし、引数を v = π u / ( 2 K ) {\displaystyle v=\pi u/(2K)} と変換する。このときの関数の展開はランベルト級数（英語版）になる。 sn ( u ) = 2 π K m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 − q 2 n + 1 sin ( ( 2 n + 1 ) v ) , {\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),} cn ( u ) = 2 π K m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 + q 2 n + 1 cos ( ( 2 n + 1 ) v ) , {\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),} dn ( u ) = π 2 K + 2 π K ∑ n = 1 ∞ q n 1 + q 2 n cos ( 2 n v ) . {\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv).}
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