ドロー＝ファルニー線定理とは？わかりやすく解説

ドロー＝ファルニーの定理^[1]（英: Droz-Farny line theorem）は平面幾何学において、垂心を通り直交する直線に関する定理である^[2]。

三角形 $ABC$ の垂心（頂垂線の共点）を $H$ 、 $H$ で直交する直線を $L 1, L 2$ とする。次に、 $BC, CA, AB$ と $L 1$ の交点をそれぞれ $A 1, B 1, C 1$ 、 $BC, CA, AB$ と $L 2$ の交点をそれぞれ $A 2, B 2, C 2$ とする。このとき、線分 $A 1 A 2, B 1 B 2, C 1 C 2$ の中点は共線である^[3]^[4]^[5]。

ドロー＝ファルニーの定理は、1899年にアルノルド・ドロー＝ファルニーが提言した定理であるが、彼自身の証明は不完全であった^[3]^[6]。

また中点を、一定の比に置き換えても同様の定理が成立する（フロアー・ヴァン・ラモン（オランダ語版）あるいはクリストファー・ブラッドリーによる）^[7]^[8]^[9]。

ドロー＝ファルニー線の包絡線は外心と垂心を焦点とする内接円錐曲線 (MacBeath conic) である^[10]。

ドロー＝ファルニーの定理の垂心を他の点 $P$ に置き換えたとき、ドロー＝ファルニー線の類似物が存在するような直線の組（DF-lines） $L 1, L 2$ はただひとつ存在する。この2本の直線は、三角形の頂点と垂心と $P$ を通る外接円錐曲線の漸近線と平行である。点 $Q$ について、 $P$ と $P$ の DF-lines の二等分線の三線極点と $Q$ が共線であるような $P$ の軌跡を Df-Cubic という^[10]。

ゴールマハティヒの一般化

1930年、ルネ・ゴールマハティヒはドロー＝ファルニーの定理の一般化を発表した^[11]。

$△ ABC$ について、その頂点でない点 $P$ を通る直線の一つを $L$ とする。 $L$ で $PA, PB, PC$ を鏡映した直線と、それぞれ $BC, CA, AB$ の交点は共線である。

$P$ が垂心であるとき、元の定理を得る。

ダオによる一般化

ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）はさらなる一般化を発見している。

１: $△ ABC$ と任意の点 $P$ について、3つの平行な線分 $AA', BB', CC'$ を、その中点と $P$ が共線になるようにとる。このとき、それぞれ $BC, CA, AB$ と $PA', PB', PC'$ の交点は共線である^[12]。

→詳細は「ダオの定理 (円錐曲線)（ベトナム語版）」を参照

2: 任意の円錐曲線 $S$ と点 $P$ について、 $P$ を通る直線 $d a, d b, d c$ がそれぞれ $S$ と $A, A'$ 、 $B, B'$ 、 $C, C'$ で交わるとする。次に $P$ の極線か $S$ 上に点 $D$ を作る。このとき $DA' \cap BC, DB' \cap AC, DC' \cap AB$ は共線である^[13]^[14]^[15]。ただし積集合記号は二直線の交点を表す。

この定理はザスラフスキーの定理（Zaslavsky's theorem）、ニクソンの定理、ブリスの定理（Bliss's theorem）、コリングの定理（Colling's theorem）、カルノーによるシムソンの定理の一般化などに演繹することができる。

他にも、Ngo Quang Duong と Vu Thanh Tung による対垂三角形を用いた一般化などが存在する^[16]^[17]。

出典

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^ 小林幹雄『複素数の幾何学』東海書房、1953年。NDLJP:2421605。
^ Charles Thas (2005). “A Note on the Droz-Farny Theorem”. Forum Geometricorum.
^ ^a ^b A. Droz-Farny (1899). “Question 14111”. The Educational Times 71: 89-90.
^ Jean-Louis Ayme (2004). “A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem”. Forum Geometricorum 14. ISSN 1534-1178.
^ Floor van Lamoen; Eric W. Weisstein. “Droz-Farny Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Arnold Droz-Farny”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
^ Cosmin Pohoata; Hong Ta, Son (2021). “A Short Proof of Lamoens Generalization of the Droz-Farny Line Theorem”. Mathematical Reflections.
^ Jean-Pierre Ehrmann; van Lamoen, Floor (2004). “A Projective Generalization of the Droz-Farny Line Theorem”. Forum Geometricorum.
^ Bradley, C. J. (2008-07). “92.57 Generalisation of the Droz-Farny lines” (英語). The Mathematical Gazette 92 (524): 332–335. doi:10.1017/S0025557200183366. ISSN 0025-5572.
^ ^a ^b “CL039”. Catalogue of Triangle Cubics. 2024年11月16日閲覧。
^ René Goormaghtigh (1930). “Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg”. Mathesis 44: 25.
^ Son Tran Hoang (2014). “A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem”. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries 3: 125–129. ISSN 2284-5569. オリジナルの2014-10-06時点におけるアーカイブ。.
^ Nguyen Ngoc Giang (2015). “A proof of Dao theorem”. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries 4 (2): 102-105. ISSN 2284-5569. オリジナルの2014-10-06時点におけるアーカイブ。.
^ Smith, Geoff (2015-07). “99.20 A projective Simson line” (英語). The Mathematical Gazette 99 (545): 339–341. doi:10.1017/mag.2015.47. ISSN 0025-5572.
^ “Two Pascals Merge into One”. www.cut-the-knot.org. 2024年7月27日閲覧。
^ Ngo Quang Duong; Thang Tung, Vu (2013). “A Generalization of the Droz-Farny Line Theorem of Orthologic Triangles”. Forum Geometricorum.
^ TRAN QUANG HUNG. “SOME EXTENSIONS OF THE DROZ-FARNY LINE THEOREM”. jcgeometry.

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