グリーン・タオの定理

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グリーン・タオの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/10 04:36 UTC 版)

ベン・グリーン (Ben Green) とテレンス・タオ (Terence Tao) により2004年に証明された、数論における定理であるグリーン・タオの定理は、素数の列は任意の長さの等差数列を含んでいるという定理である。言い換えると、任意の自然数 k に対し、k 個の項からなる素数の等差数列が存在する。証明はSzemerédiの定理の拡張となっている。

2006年、テレンス・タオとタマル・ツィーグラー (Tamar Ziegler) は、この結果を polynomial progression へ拡張した。正確に言えば、定数項が 0 の、一変数の整数値多項式 P₁, ..., P_k が任意に与えられると、

$x+P_{1}(m),\ldots ,x+P_{k}(m)$

が同時に素数となるような整数 x, m が無数に存在する。この特別な場合として、多項式が m, 2m, ..., km のものを考えると、長さが k の素数の等差数列が存在するということとなる。

数値計算結果

これらの結果は単に存在を保証する定理であり、どのようにして等差数列を見つけるかは示してはくれない。2007年1月18日、ヤロスラフ・ロンブロースキー (Jarosław Wróblewski) は 24 個の項からなる場合を初めて示した。

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 23.

ここで定数 223,092,870 は、23 以下の素数の積である（素数階乗を参照）。

2008年5月17日、ロンブロースキーとラーナン・チェルモーニ (Raanan Chermoni) は 25 個の素数の場合を見つけた。

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 24.

2010年4月12日、Benoãt Perichon は、PrimeGridプロジェクトのヤロスラフ・ウレブロフスキとゲオフ・レイノルズのソフトウェアを使い、26 個の素数の場合を見つけた（オンライン整数列大辞典の数列 A204189）。

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 25.

2019年4月12日、Rob Gahan は、PrimeGridプロジェクトのヤロスラフ・ウレブロフスキとゲオフ・レイノルズのソフトウェアを使い、27 個の素数の場合を見つけた（オンライン整数列大辞典の数列 A327760）。

224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 223,092,870 · n,　　0 ≤ n ≤ 26.

関連項目

• 等差数列に関するエルデシュ予想
• ディリクレの算術級数定理
• 数論的組合せ論

関連図書

• 関真一朗：「グリーン・タオの定理」、朝倉書店（朝倉数学ライブラリー）、ISBN 978-4-254-11871-1 (2023年1月1日).

外部リンク

• MathWorld news article on proof
• Primes in Arithmetic Progression Records
• P. Erdos and P.Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers　[1] by Terence Tao.
• The Green-Tao theorem: an exposition by David Conlon, Jacob Fox, and Yufei Zhao