深さ (環論) 深さ (環論)の概要

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深さ (環論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/23 01:38 UTC 版)

${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),}$

である、ただし dim M は加群 M のクルル次元を表す。深さはよい性質をもつ環と加群のクラスを定義するのに使われる。例えばコーエン-マコーレー環と加群で、これは等号が成り立つ。

定義

R を可換ネーター環、I を R のイデアル、M を IM が M に真に含まれるという性質をもつ有限 R-加群とする。このとき M の I-深度 (I-depth) は、 M の grade とも呼ばれるが、

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}}$

と定義される。定義によって、環 R の深度は自身の上の加群としてのその深度である。

David Rees による定理によって、深度は正則列の概念を用いて特徴づけることもできる。

定理 (Rees)

R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ とし、M を有限生成 R-加群とする。このとき M のすべての極大正則列 x₁,..., x_n、ただし各 x_i は ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ に属する、は M の ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-深度と同じ長さ n をもつ。

深さと射影次元

可換ネーター局所環上の加群の射影次元と深さは互いに相補的である。これは Auslander–Buchsbaum の公式の内容である。これは基礎理論的に重要であるばかりでなく、加群の深さを計算する効率的な方法を提供してくれる。R を可換ネーター局所環でその極大イデアルを ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ とし、M を有限生成 R-加群とする。M の射影次元が有限であれば、Auslander–Buchsbaum の公式が述べているのは

${\displaystyle \mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).}$