強制法 コーエン強制

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強制法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 06:35 UTC 版)

コーエン強制

非自明で最も単純な強制半順序は ( Fin(ω,2) , ⊇ , 0 ) である。 これは ω から 2={0,1} への有限部分関数全体に包含関係の逆 順序を入れたものである。

すなわち、条件 p は有限個の自然数に"yes"(1)と"no"(0)を割り当てているが、 それ以外の数には"yes"と"no"は割り当てていない。q が p より強いというのを q ⊇ p としている。 q は p の割り当て情報を保ちながらより多くの情報をも与えており強いという表現に合致している。

G をこの半順序のジェネリックフィルターとする。p,q を G の要素とするとき、 フィルター性から p∪q は条件である。このことから g=⋃G は から ω から 2 へのwell-definedな部分関数である。G のいかなる2要素も共通の定義域では一致しているからである。

実際は g は全域関数である。 いかなる n ∈ ω に対しても D_n={ p : p(n) が定義されている } とすると D_n は稠密集合である(いかなる p に対しても、もし n が p の定義域に入っていなくても n に対する値を定義して付け加えるとその関数は D_n の要素となる)。条件 p ∈ G∩D_n はその定義域に n をもつから p ⊆ g であり、g(n) は定義されていることになる。

ジェネリック関数 g の"yes"な要素の集合を X=g⁻¹[1] とする。 X に名前を直接与えることは可能である。X = { ( nˇ , p ) : p(n)=1 } とすれば val( X , G ) = X である。 今、A⊆ω を V の要素とする。X≠A であることを示す。 D_A = { p : ∃n, n∈dom(p) かつ (p(n)=1 と n∉A は同値) } と する。D_A は稠密である(任意の p に対して、n が p の定義域に入っていなくても n に対する値を n∈A かどうかに矛盾するように定義すればよい)。このとき p∈G∩D_A は X≠A の証拠となる。つまり、X は ω の新しい 無限部分集合である。

ω を ω×ω₂ で置き換える、すなわち今度の有限部分関数は、入力は n<ω と α<ω₂ を用いて(n,α) の形で、出力はこれらに 0 と 1 を割り当てるものを考える。これにより ω₂ 個の ω の部分集合を得る。それらが全て異なることは稠密性に関する議論から分かる。α<β<ω₂ に対して D_α,β={p:∃n, p(n,α)≠p(n,β)} はそれぞれ稠密で、 それに交わるジェネリック条件は α 番目の新しい集合は β 番目の新しい集合に一致しない。

これではまだ連続体仮説の否定が成り立つことにはなっていない。 作られた新しい関数が ω から ω₁ や ω₁ から ω₂ への全射になっていないことを示す必要がある。というのも、Fin(ω,ω₁) を考えたとき、V[G] では ω から ω₁への全単射が 得られている。言い換えると、ω₁ は 潰されていて、強制拡大内では可算順序数になっているのである。

連続体仮説の独立性を証明する最後のステップは、コーエン強制が基数を潰さないことを示すことである。 これには、組み合わせ論的性質としてはこの半順序の反鎖が可算個しかないこと、すなわち可算鎖条件があれば十分である。