力の平行四辺形 力の平行四辺形の代数的証明

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力の平行四辺形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 05:09 UTC 版)

力の平行四辺形の代数的証明

力をユークリッドベクトルもしくは$\mathbb {R} ^{2}$の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力$\mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$には、別の力$\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}$が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、$\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F}$である。

写像

$$(a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}$$

を考える。 $\oplus$が結合的であるならば、この写像は線形である。$\mathbf {e} _{1}$を$\mathbf {e} _{1}$に、$\mathbf {e} _{2}$を$\mathbf {e} _{2}$に写すため、恒等写像である必要もある。よって$\oplus$は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。