一般化線形モデル 概要

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一般化線形モデル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/09 01:40 UTC 版)

概要

確率変数 $Y$ が指数型分布族である、つまり確率密度関数 $f(y)$ は正準 (canonical) パラメーター $\theta$, 分散 (dispersion) パラメーター $\phi$ とスカラー関数 $a(\theta )$, $c(y,\,\theta )$ を用いて指数型

$f(y;\theta ,\phi )=\exp \left\{{\frac {y\,\theta -a(\theta )}{\phi }}+c(y,\phi )\right\}$

で表すことができるものとする。

一般化線形モデルでは、指数型分布族の正準パラメーター $\theta$ について、リンク関数 (link function) と呼ばれる滑らかな関数 $g(\theta )$ と、別の確率変数 $\mathbf {X}$ の実現値 $\mathbf {x}$ とを用いて、$g(\theta )=\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }}$ と表すことができるものとする。

一般化線型モデルは下記の3つの要素から構成される。

1. 指数型分布族の確率分布

2. 線形予測子 (linear predictor) $\eta =\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\beta }}$

3. リンク関数 (link function) $g$ such that $g(\theta )=\eta$