一般カッツ・ムーディ代数一般カッツ・ムーディ代数の概要

動機付け

有限次元半単純リー環は以下の性質を持つ：

非退化対称不変双線型形式 $( , )$ を持つ．
0次部分（カルタン部分環）が可換であるような次数付けを持つ．
（カルタン）対合 $w$ を持つ．
$(a, w (a))$ は $a \neq 0$ のとき正である．

例えば，トレースが $0$ の $n$ 次行列からなるリー環に対して，双線型形式は $(a, b) = Trace(ab)$ であり，カルタン対合は転置のマイナスによって与えられ，次数付けは「対角線からの距離」によって（したがってカルタン部分環は対角行列全体である）与えられる．

逆にこれらの性質（およびいくつか他の技術的条件）を満たすLie環をすべて見つけようとすることができる．答えとして有限次元およびアフィンリー環の和を得る．

モンスターリー環（英語版）は上の条件の僅かに弱いバージョンを満たす： $(a, w (a))$ は $a$ が $0$ でなく次数が $0$ でないとき正である，しかし $a$ の次数が $0$ であるときは負でもよい．これらの弱い条件を満たすリー環がだいたい一般カッツ・ムーディ代数である．それらは本質的にはある生成元と関係式によって与えられる代数（以下で記述される）と同じである．

インフォーマルには，一般カッツ・ムーディ代数は有限次元半単純リー環のように振る舞うリー環である．特にそれらはワイル群，ワイルの指標公式，カルタン部分環，ルート，ウェイト，等々を持つ．

定義

対称化カルタン行列とは（無限次でもよい）正方行列 $(c ij)$ であって以下を満たすものである：

$c_{ij}=c_{ji};$
$i \neq j$ のとき $c_{ij}\leq 0;$
$c ij > 0$ のとき $2c_{ij}/c_{ii}$ は整数．

与えられた対称化カルタン行列を持つ普遍一般カッツ・ムーディ代数は生成元 $e i$ , $f i$ , $h i$ と以下の関係式によって定義される：

$[e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}h_{i};$
$[h_{i},e_{j}]=c_{ij}e_{j},\;[h_{i},f_{j}]=-c_{ij}f_{j};$
$c ii > 0$ のとき， $[e_{i},[e_{i},\ldots ,[e_{i},e_{j}]]]=[f_{i},[f_{i},\ldots ,[f_{i},f_{j}]]]=0$ （ $e i$ や $f i$ は $1-2c_{ij}/c_{ii}$ 個；
$c ij = 0$ のとき $[e_{i},e_{j}]=[f_{i},f_{j}]=0.$