ランドール・サンドラム模型 ランドール・サンドラム模型の概要

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ランドール・サンドラム模型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 08:21 UTC 版)

リサ・ランドールとラマン・サンドラムは、当時流行していた普遍的余剰次元模型に不満を持ち、1999年に2つの論文で2つのランドール・サンドラム模型を提案した。これらのモデルには、2つのパラメータ微調整が必要である。 1つはバルク（高次元時空）における宇宙定数の値、もう1つはブレーンの張力の値である。後に、反ド・ジッター/共形場理論（AdS / CFT）対応の文脈でランドール・サンドラム模型を研究している際、彼らはそれがテクニカラー模型と双対になることを示した。

2つの模型のうちRS1と呼ばれる最初の模型は、両端に1つずつ、2つのブレーンを備えた有限サイズの余剰次元を持つ。 2番目の模型RS2はRS1と似ているが、1つのブレーンが無限に離れて配置されているため、模型に残っているブレーンは1つだけである。

概要

ランドール・サンドラム模型は、標準模型の階層性問題を解くために開発されたブレーンワールド理論である。この模型は、極端に歪んでいる有限サイズの5次元バルクの存在を予言する。バルクは以下の2つのブレーンを含む：プランクブレーン（ここでは重力は比較的強い力として存在する。重力ブレーンとも呼ばれる）とTeVブレーン （標準模型粒子の存在する私たちのいる世界である。「弱いブレーン」とも呼ばれる）。この模型では、2つのブレーンは、それほど大きくない5番目の次元中で、約16単位（ブレーンとバルクエネルギーに基づく単位）分だけ離れている。 プランクブレーンは正のブレーンエネルギーを持ち、TeVブレーンは負のブレーンエネルギーをもつ。これらのエネルギーが時空の極端な歪みの原因となる。

重力子確率密度関数

5番目の次元に沿ってのみ歪んでいるこの歪んだ時空では、重力子の確率密度関数はプランクブレーンで非常に高くなりますが、TeVブレーンに近づくにつれて指数関数的に低下する。この場合、重力はプランクブレーンよりもTeVブレーンの方がはるかに弱くなる。

RS1模型

RS1モデルは、階層性問題を解決しようとするものである。余剰次元のゆがみは、ブラックホールなどの巨大な物体の近くでの時空のゆがみに似ている。この時空の歪み（つまり赤方偏移）は大きなエネルギースケールの比を生じ、このため余剰次元の一方の端の持つ自然なエネルギースケールは、もう一方の端よりもはるかに大きくなる。

$\mathrm {d} s^{2}={\frac {1}{k^{2}y^{2}}}(\mathrm {d} y^{2}+\eta _{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }),$

ここで、 ${\textstyle k}$ は定数であり、${\textstyle \eta }$ は「-+++」符号数を持つ。この空間は ${\textstyle y=1/k}$ および ${\textstyle y=1/(Wk)}$ に境界があり（ただし$0\leq 1/k\leq 1/(Wk)$ ）、ここで ${\textstyle k}$ はプランクスケール近辺の値、 ${\textstyle W}$ はワープ係数、 ${\textstyle Wk}$ は TeV スケールの値である。 ${\textstyle y=1/k}$ の境界はプランクブレーンと呼ばれ、 ${\textstyle y=1/(Wk)}$ の境界はTeVブレーンと呼ばれる。標準模型の粒子はTeVブレーン上に存在する。ただし、両方のブレーンは ${\textstyle -\ln(W)/k}$ だけ離れている。

別の座標系では、

$\varphi \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -{\frac {\pi \ln(ky)}{\ln(W)}},$

とおけば

$0\leq \varphi \leq \pi ,$

また

$\mathrm {d} s^{2}=\left({\frac {\ln(W)}{\pi k}}\right)^{2}\,\mathrm {d} \varphi ^{2}+e^{\frac {2\ln(W)\varphi }{\pi }}\eta _{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\,\mathrm {d} x^{\nu }.$

となる。

RS2模型

RS2模型はRS1と同じ時空を使用するが、TeVブレーンは存在しない。標準模型の粒子は、プランクブレーン上にあると推定される。この模型は元来、多くの観点から4次元模型のように振る舞う無限の5次元モデルを表しているため、興味を持たれていた。この設定は、 AdS/CFT予想の研究にも役立つ可能性がある。