hyperfactorial
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
「階乗」の記事における「hyperfactorial」の解説
「K函数」も参照 ハイパー階乗（hyperfactorial）は、以下で定義される。 H ( n ) = ∏ k = 1 n k k = 1 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋯ ( n − 1 ) n − 1 ⋅ n n {\displaystyle H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}} これはとても大きくなっていく。最初のいくつかの値はつぎの通りである。 1, 4, 108, 27648, 86400000, …… ハイパー階乗は定義域を複素数にまで拡張できる。それはK函数と呼ばれ、以下で定義される。 K ( z ) = ( 2 π ) ( − z + 1 ) / 2 exp [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln ( t ! ) d t ] . {\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].} 自然数nに対し、次が成り立つ。 K ( n + 1 ) = 1 1 2 2 3 3 4 4 ⋯ n n . {\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\,4^{4}\,\cdots n^{n}.}
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