SU(3)の生成子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/07 17:41 UTC 版)
3次特殊ユニタリ群SU(3) は行列式が１となる3×3ユニタリ行列から構成される。SU(3) は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 𝔰𝔲(3) の元ではなく、ゲルマン行列に i=√-1 を乗じたものが 𝔰𝔲(3) の元となる。通常、SU(3)の生成子としては、λa の代わりに1/2 を乗じた Ta が用いられる。 T a = λ a 2 {\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}} コンパクトで連結なリー群SU(3)の任意の元はリー環の指数写像によって e i ∑ a = 1 8 θ a T a ( θ a ∈ R , a = 1 , ⋯ , 8 ) {\displaystyle e^{i\sum _{a=1}^{8}\theta _{a}T_{a}}\quad (\theta _{a}\in \mathbb {R} ,\,a=1,\cdots ,8)} の形で与えられる。 ゲルマン行列 λa、 または Ta の線形結合で張られる線形空間は交換子積 [ T a , T b ] = T a T b − T b T a {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}} により、リー代数となり、その構造は [ T a , T b ] = i ∑ i = 1 8 f a b c T c {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{i=1}^{8}f_{abc}T_{c}} で定まる構造定数 fabc で規定される。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、fabc は添え字a, b, c について、完全反対称である。 {T1,T2,T3}の組は、 [ T 1 , T 2 ] = i T 3 , [ T 2 , T 3 ] = i T 1 , [ T 3 , T 1 ] = i T 2 {\displaystyle [T_{1},T_{2}]=iT_{3},\quad [T_{2},T_{3}]=iT_{1},\quad [T_{3},T_{1}]=iT_{2}} と交換子積について閉じており、SU(2)に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はSU(2)に対応する部分リー代数をなす。 このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は C 1 = ∑ a T a 2 {\displaystyle C_{1}=\sum _{a}T_{a}^{\,2}} C 2 = ∑ a d a b c T a T b T c {\displaystyle C_{2}=\sum _{a}d_{abc}T_{a}T_{b}T_{c}} で与えられる。
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SU(2)の生成子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
パウリ行列は、行列式を 1 とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である。パウリ行列に −i/2 を乗じた X 1 = − i 2 σ 1 = [ 0 − i / 2 − i / 2 0 ] X 2 = − i 2 σ 2 = [ 0 − 1 / 2 1 / 2 0 ] X 3 = − i 2 σ 3 = [ − i / 2 0 0 i / 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&-i/2\\-i/2&0\end{bmatrix}}\\X_{2}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\1/2&0\end{bmatrix}}\\X_{3}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}-i/2&0\\0&i/2\end{bmatrix}}\end{aligned}}} は 𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係 [ X 1 , X 2 ] = X 3 , [ X 2 , X 3 ] = X 1 , [ X 3 , X 1 ] = X 2 {\displaystyle [X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}} を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースが 0 かつ反エルミート Tr ( X ) = 0 X † = − X {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (X)&=0\\X^{\dagger }&=-X\end{aligned}}} である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群であるSU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、 exp ( ∑ k = 1 3 t k X k ) ( t 1 , t 2 , t 3 ∈ R ) {\displaystyle \exp(\sum \limits _{k=1}^{3}t_{k}X_{k})\quad (t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb {R} )} の形で与えることができる。
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