類等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:51 UTC 版)
G が有限群であれば、群の任意の元 a に対して、a の共役類の元は中心化群 CG(a) の剰余類と 1 対 1 の対応にある。このことは次のことを観察することによってわかる。同じ剰余類に属する任意の 2 元 b, c （したがって中心化群 CG(a) のある元 z に対して b = zc）は a を共役するときに同じ元を生じる： b−1ab = (zc)−1a(zc) = c−1z−1azc = c−1ac. したがって a の共役類の元の数は G における中心化群 CG(a) の指数 [G : CG(a)] である。したがって各共役類の元の数は群の位数を割り切る。 さらに、各共役類からひとつずつ代表元 xi を選べば、共役類の非交性から |G| = ∑i |xiG| = ∑i [G : CG(xi)]がいえる。中心 Z(G) の各元はそれ自身だけを含む共役類をなすことに注意すれば、類等式 (class equation) を得る： |G| = |Z(G)| + ∑i [G : CG(xi)] ただし和は中心に含まれない各共役類からの代表元を渡る。 群の位数 |G| の約数の知識は中心や共役類の元の数についての情報を得るためにしばしば使うことができる。
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類等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:39 UTC 版)
位数についての重要な結果は類等式である。それは有限群 G の位数をその中心 Z(G) の位数とその非自明な共役類のサイズに関連付ける： | G | = | Z ( G ) | + ∑ i d i {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;} ただし di は非自明な共役類のサイズである。これらは 1 よりも大きい |G| の真の約数であり、それらはまた非自明な共役類の代表系の G における中心化群の指数にも等しい。例えば、S3 の中心はただ 1 つの元 e からなる自明群で、方程式は |S3| = 1+2+3 となる。
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